Номер 21.16, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.16, страница 134.

21.16. a) $\int_0^4 e^{0,5x-1}dx$;

б) $\int_{-1}^1 e^{2x+1}dx$;

В) $\int_{-4}^4 e^{0,25x+1}dx$;

Г) $\int_{-0,5}^0 e^{-2x+2}dx.$

а) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{4} e^{0.5x-1} dx$.

Для вычисления данного интеграла воспользуемся общей формулой для нахождения первообразной функции вида $e^{kx+c}$, которая имеет вид $F(x) = \frac{1}{k}e^{kx+c}$.

В нашем случае, подынтегральная функция $f(x) = e^{0.5x-1}$. Здесь коэффициент $k=0.5$, а свободный член в показателе $c=-1$.

Найдем первообразную:

$F(x) = \int e^{0.5x-1} dx = \frac{1}{0.5}e^{0.5x-1} = 2e^{0.5x-1}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ для вычисления определенного интеграла с пределами интегрирования от $0$ до $4$.

$\int_{0}^{4} e^{0.5x-1} dx = \left[ 2e^{0.5x-1} \right]_{0}^{4} = 2e^{0.5 \cdot 4 - 1} - 2e^{0.5 \cdot 0 - 1} = 2e^{2-1} - 2e^{0-1} = 2e^1 - 2e^{-1} = 2e - \frac{2}{e}$.

Ответ: $2e - \frac{2}{e}$.

б) Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{1} e^{2x+1} dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = e^{2x+1}$. Здесь коэффициент $k=2$, а $c=1$.

Первообразная для данной функции:

$F(x) = \int e^{2x+1} dx = \frac{1}{2}e^{2x+1}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $-1$ до $1$.

$\int_{-1}^{1} e^{2x+1} dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x+1} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1 + 1} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot (-1) + 1} = \frac{1}{2}e^{3} - \frac{1}{2}e^{-2+1} = \frac{1}{2}e^3 - \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2}(e^3 - \frac{1}{e})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(e^3 - \frac{1}{e})$.

в) Вычислим определенный интеграл $\int_{-4}^{4} e^{0.25x+1} dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = e^{0.25x+1}$. Здесь коэффициент $k=0.25 = \frac{1}{4}$, а $c=1$.

Первообразная для данной функции:

$F(x) = \int e^{0.25x+1} dx = \frac{1}{0.25}e^{0.25x+1} = 4e^{0.25x+1}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $-4$ до $4$.

$\int_{-4}^{4} e^{0.25x+1} dx = \left[ 4e^{0.25x+1} \right]_{-4}^{4} = 4e^{0.25 \cdot 4 + 1} - 4e^{0.25 \cdot (-4) + 1} = 4e^{1+1} - 4e^{-1+1} = 4e^2 - 4e^0 = 4e^2 - 4 \cdot 1 = 4(e^2 - 1)$.

Ответ: $4(e^2 - 1)$.

г) Вычислим определенный интеграл $\int_{-0.5}^{0} e^{-2x+2} dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = e^{-2x+2}$. Здесь коэффициент $k=-2$, а $c=2$.

Первообразная для данной функции:

$F(x) = \int e^{-2x+2} dx = \frac{1}{-2}e^{-2x+2} = -\frac{1}{2}e^{-2x+2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $-0.5$ до $0$.

$\int_{-0.5}^{0} e^{-2x+2} dx = \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x+2} \right]_{-0.5}^{0} = (-\frac{1}{2}e^{-2 \cdot 0 + 2}) - (-\frac{1}{2}e^{-2 \cdot (-0.5) + 2}) = -\frac{1}{2}e^{2} - (-\frac{1}{2}e^{1+2}) = -\frac{1}{2}e^{2} + \frac{1}{2}e^{3} = \frac{1}{2}(e^3 - e^2)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(e^3 - e^2)$.