Номер 21.22, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.22, страница 135.

Вычислите:

21.22. a) $\int_2^3 (|x^2 - 4| + 2x) dx$

б) $\int_0^1 (|x^2 + 2| + |x - 5|) dx$

в) $\int_{-2}^2 (|x^2 - 4| + 2x) dx$

г) $\int_{-2}^{-1} (|x^4 + 2x^2 + 3| + |x + 1|) dx$

а) Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} (|x^2 - 4| + 2x) dx$.

Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2 - 4$. Найдём его корни: $x^2 - 4 = 0$, откуда $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Интегрирование производится по отрезку $[2, 3]$. На этом отрезке выражение $x^2 - 4$ неотрицательно, так как для любого $x \ge 2$ выполняется $x^2 \ge 4$. Следовательно, $|x^2 - 4| = x^2 - 4$ на отрезке $[2, 3]$.

Таким образом, интеграл принимает вид:

$\int_{2}^{3} (x^2 - 4 + 2x) dx = \int_{2}^{3} (x^2 + 2x - 4) dx$.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 + 2x - 4$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} - 4x = \frac{x^3}{3} + x^2 - 4x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{2}^{3} (x^2 + 2x - 4) dx = (\frac{x^3}{3} + x^2 - 4x) \Big|_{2}^{3}$

$= (\frac{3^3}{3} + 3^2 - 4 \cdot 3) - (\frac{2^3}{3} + 2^2 - 4 \cdot 2)$

$= (\frac{27}{3} + 9 - 12) - (\frac{8}{3} + 4 - 8)$

$= (9 + 9 - 12) - (\frac{8}{3} - 4) = 6 - (\frac{8 - 12}{3}) = 6 - (-\frac{4}{3}) = 6 + \frac{4}{3} = \frac{18 + 4}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $\frac{22}{3}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (|x^2 + 2| + |x - 5|) dx$.

Раскроем модули на отрезке интегрирования $[0, 1]$.

1. Выражение $x^2 + 2$ всегда положительно для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$. Поэтому $|x^2 + 2| = x^2 + 2$.

2. Выражение $x - 5$ на отрезке $[0, 1]$ всегда отрицательно, так как $x \le 1$ и, следовательно, $x - 5 \le 1 - 5 = -4$. Поэтому $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.

Подставим раскрытые модули в интеграл:

$\int_{0}^{1} (x^2 + 2 + 5 - x) dx = \int_{0}^{1} (x^2 - x + 7) dx$.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 - x + 7$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 7x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} (x^2 - x + 7) dx = (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 7x) \Big|_{0}^{1}$

$= (\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 7 \cdot 1) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 7 \cdot 0)$

$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 7) - 0 = \frac{2 - 3 + 42}{6} = \frac{41}{6}$.

Ответ: $\frac{41}{6}$.

в) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{2} (|x^2 - 4| + 2x) dx$.

Рассмотрим выражение под знаком модуля $x^2 - 4$ на отрезке интегрирования $[-2, 2]$.

Корни уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x = -2$ и $x = 2$. Между корнями, то есть на интервале $(-2, 2)$, парабола $y = x^2 - 4$ находится ниже оси Ox, следовательно, $x^2 - 4 \le 0$ на отрезке $[-2, 2]$.

Поэтому на этом отрезке $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{-2}^{2} (4 - x^2 + 2x) dx = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 2x + 4) dx$.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = -x^2 + 2x + 4$:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + 4x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 4x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{2} (-x^2 + 2x + 4) dx = (-\frac{x^3}{3} + x^2 + 4x) \Big|_{-2}^{2}$

$= (-\frac{2^3}{3} + 2^2 + 4 \cdot 2) - (-\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 4 \cdot (-2))$

$= (-\frac{8}{3} + 4 + 8) - (\frac{8}{3} + 4 - 8)$

$= (12 - \frac{8}{3}) - (\frac{8}{3} - 4) = \frac{36 - 8}{3} - \frac{8 - 12}{3} = \frac{28}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{28 + 4}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (|x^4 + 2x^2 + 3| + |x + 1|) dx$.

Раскроем модули на отрезке интегрирования $[-2, -1]$.

1. Выражение $x^4 + 2x^2 + 3$. Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то их сумма $x^4 + 2x^2 \ge 0$, а значит и $x^4 + 2x^2 + 3 > 0$. Следовательно, $|x^4 + 2x^2 + 3| = x^4 + 2x^2 + 3$.

2. Выражение $x + 1$. На отрезке $[-2, -1]$ значение $x$ не превышает $-1$, то есть $x \le -1$, из чего следует, что $x + 1 \le 0$. Поэтому на данном отрезке $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.

Подставим раскрытые модули в интеграл:

$\int_{-2}^{-1} (x^4 + 2x^2 + 3 - x - 1) dx = \int_{-2}^{-1} (x^4 + 2x^2 - x + 2) dx$.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^4 + 2x^2 - x + 2$:

$F(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{-1} (x^4 + 2x^2 - x + 2) dx = (\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x) \Big|_{-2}^{-1}$

Сначала вычислим значение первообразной в верхней точке $x = -1$:

$F(-1) = \frac{(-1)^5}{5} + \frac{2(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = -\frac{1}{5} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{-6 - 20 - 15}{30} - \frac{60}{30} = -\frac{101}{30}$.

Теперь вычислим значение в нижней точке $x = -2$:

$F(-2) = \frac{(-2)^5}{5} + \frac{2(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = -\frac{32}{5} - \frac{16}{3} - \frac{4}{2} - 4 = -\frac{32}{5} - \frac{16}{3} - 6 = \frac{-96 - 80}{15} - \frac{90}{15} = -\frac{176}{15} - \frac{90}{15} = -\frac{266}{15}$.

Вычислим разность $F(-1) - F(-2)$:

$-\frac{101}{30} - (-\frac{266}{15}) = -\frac{101}{30} + \frac{266 \cdot 2}{15 \cdot 2} = -\frac{101}{30} + \frac{532}{30} = \frac{532 - 101}{30} = \frac{431}{30}$.

Ответ: $\frac{431}{30}$.