Номер 21.27, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.27, страница 138.

21.27. Зная, что $\int_{3}^{6} f(x) dx = 12$, найдите:

а) $\int_{1}^{2} f(3x) dx$;

б) $\int_{-2.5}^{-1} f(1 - 2x) dx$.

а)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{2} f(3x) dx$ применим метод замены переменной (интегрирование подстановкой).

Пусть новая переменная $t = 3x$. Тогда найдем ее дифференциал: $dt = (3x)' dx = 3 dx$. Отсюда можно выразить $dx$: $dx = \frac{dt}{3}$.

Теперь необходимо найти новые пределы интегрирования для переменной $t$:
- нижний предел: если $x = 1$, то $t = 3 \cdot 1 = 3$;
- верхний предел: если $x = 2$, то $t = 3 \cdot 2 = 6$.

Подставим новую переменную, ее дифференциал и новые пределы интегрирования в исходный интеграл:

$\int_{1}^{2} f(3x) dx = \int_{3}^{6} f(t) \frac{dt}{3}$

Вынесем константу $\frac{1}{3}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{3} \int_{3}^{6} f(t) dt$

Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, поэтому $\int_{3}^{6} f(t) dt = \int_{3}^{6} f(x) dx$.

Согласно условию задачи, $\int_{3}^{6} f(x) dx = 12$. Подставим это значение в наше выражение:

$\frac{1}{3} \cdot 12 = 4$

Ответ: 4

б)

Для вычисления интеграла $\int_{-2,5}^{-1} f(1 - 2x) dx$ также воспользуемся методом замены переменной.

Пусть $t = 1 - 2x$. Тогда ее дифференциал $dt = (1 - 2x)' dx = -2 dx$, откуда $dx = -\frac{dt}{2}$.

Найдем новые пределы интегрирования для переменной $t$:
- нижний предел: если $x = -2,5$, то $t = 1 - 2 \cdot (-2,5) = 1 + 5 = 6$;
- верхний предел: если $x = -1$, то $t = 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$.

Выполним подстановку в интеграл:

$\int_{-2,5}^{-1} f(1 - 2x) dx = \int_{6}^{3} f(t) \left(-\frac{dt}{2}\right)$

Вынесем константу $-\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$-\frac{1}{2} \int_{6}^{3} f(t) dt$

Используем свойство определенного интеграла $\int_{a}^{b} g(x) dx = -\int_{b}^{a} g(x) dx$. Поменяв местами пределы интегрирования, мы изменим знак интеграла на противоположный:

$-\frac{1}{2} \left(-\int_{3}^{6} f(t) dt\right) = \frac{1}{2} \int_{3}^{6} f(t) dt$

Так как $\int_{3}^{6} f(t) dt = \int_{3}^{6} f(x) dx = 12$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 12 = 6$

Ответ: 6