Номер 21.29, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.29, страница 138.

21.29. а) $\int_{0}^{x} \cos^2 t dt = \frac{x}{2}$;

б) $\int_{0}^{x} \cos 2t dt + \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin 2t dt = 0$;

в) $2 \int_{0}^{x} \sin^2 t dt = x$;

г) $\int_{0}^{x} (2 \cos 2t + 6 \cos 6t)dt = 0$.

а) Для решения уравнения $ \int_{0}^{x} \cos^2 t \, dt = \frac{x}{2} $ сначала вычислим интеграл в левой части. Для этого используем тригонометрическую формулу понижения степени: $ \cos^2 t = \frac{1 + \cos(2t)}{2} $.
$ \int_{0}^{x} \cos^2 t \, dt = \int_{0}^{x} \frac{1 + \cos(2t)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} (1 + \cos(2t)) \, dt $
$ = \frac{1}{2} \left[ t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{0}^{x} = \frac{1}{2} \left( (x + \frac{1}{2}\sin(2x)) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0)) \right) = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} $.
Теперь подставим полученный результат в исходное уравнение:
$ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} = \frac{x}{2} $.
Вычитая $ \frac{x}{2} $ из обеих частей, получаем:
$ \frac{\sin(2x)}{4} = 0 $, что равносильно $ \sin(2x) = 0 $.
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $ 2x = \pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).
Отсюда находим $ x $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \int_{0}^{x} \cos(2t) \, dt + \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin(2t) \, dt = 0 $.
Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Первый интеграл: $ \int_{0}^{x} \cos(2t) \, dt = \left[ \frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{0}^{x} = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\sin(0) = \frac{1}{2}\sin(2x) $.
Второй интеграл: $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin(2t) \, dt = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2t) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{x} = \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + 0 = -\frac{1}{2}\cos(2x) $.
Подставляем вычисленные значения в исходное уравнение:
$ \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(2x) = 0 $.
Умножим обе части на 2: $ \sin(2x) - \cos(2x) = 0 $, или $ \sin(2x) = \cos(2x) $.
Если $ \cos(2x) \neq 0 $, мы можем разделить обе части на $ \cos(2x) $:
$ \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1 $, что равносильно $ \tan(2x) = 1 $.
Решением этого уравнения является $ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Следовательно, $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $. (В этих точках $ \cos(2x) \neq 0 $, так что деление было корректным).
Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

в) Решим уравнение $ 2 \int_{0}^{x} \sin^2 t \, dt = x $.
Сначала вычислим интеграл. Используем формулу понижения степени: $ \sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2} $.
$ \int_{0}^{x} \sin^2 t \, dt = \int_{0}^{x} \frac{1 - \cos(2t)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \left[ t - \frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{0}^{x} $
$ = \frac{1}{2} \left( (x - \frac{1}{2}\sin(2x)) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0)) \right) = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} $.
Подставим это в исходное уравнение:
$ 2 \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} \right) = x $.
$ x - \frac{\sin(2x)}{2} = x $.
$ -\frac{\sin(2x)}{2} = 0 $, что равносильно $ \sin(2x) = 0 $.
Это то же самое уравнение, что и в пункте а). Его решением является $ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Отсюда $ x $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

г) Решим уравнение $ \int_{0}^{x} (2 \cos 2t + 6 \cos 6t)dt = 0 $.
Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{x} (2 \cos 2t + 6 \cos 6t)dt = \left[ 2 \cdot \frac{\sin(2t)}{2} + 6 \cdot \frac{\sin(6t)}{6} \right]_{0}^{x} $
$ = \left[ \sin(2t) + \sin(6t) \right]_{0}^{x} = (\sin(2x) + \sin(6x)) - (\sin(0) + \sin(0)) = \sin(2x) + \sin(6x) $.
Теперь решаем уравнение $ \sin(2x) + \sin(6x) = 0 $.
Для решения используем формулу суммы синусов: $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $.
$ 2\sin\left(\frac{2x+6x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) = 0 $.
$ 2\sin(4x)\cos(2x) = 0 $.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $ \sin(4x) = 0 \implies 4x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi(1+2k)}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Заметим, что вторая серия решений (где $k$ - целое) является подмножеством первой серии решений (где $n$ - целое). Вторая серия соответствует нечетным значениям $n$ в первой серии ($n = 2k+1$). Таким образом, все решения можно описать одной формулой из первого случая.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.