Номер 21.34, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.34, страница 139.

21.34. a) $\int_0^x \sin t dt < \frac{1}{2}$;

Б) $\int_{\frac{\pi}{2}}^x \cos 2t dt > \frac{1}{2\sqrt{2}};$

В) $\int_0^x \cos t dt < -\frac{\sqrt{3}}{2};$

Г) $\int_{\pi}^x \sin \frac{t}{2} dt > \sqrt{3}.$

а) Для решения неравенства $\int_{0}^{x} \sin t \, dt < \frac{1}{2}$ сначала вычислим определенный интеграл в левой части. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$\int_{0}^{x} \sin t \, dt = [-\cos t]_{0}^{x} = -\cos x - (-\cos 0) = 1 - \cos x$.

Теперь исходное неравенство принимает вид $1 - \cos x < \frac{1}{2}$. Преобразуем его:

$-\cos x < \frac{1}{2} - 1$

$-\cos x < -\frac{1}{2}$

$\cos x > \frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность интервалов $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения неравенства $\int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \cos 2t \, dt > \frac{1}{2\sqrt{2}}$ вычислим интеграл:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \cos 2t \, dt = [\frac{1}{2}\sin 2t]_{\frac{\pi}{2}}^{x} = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\sin(\pi) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Неравенство сводится к $\frac{1}{2}\sin(2x) > \frac{1}{2\sqrt{2}}$, что равносильно $\sin(2x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решая это тригонометрическое неравенство, получаем $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < 2x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив все части неравенства на 2, находим решение для $x$:

$\frac{\pi}{8} + \pi k < x < \frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{8} + \pi k; \frac{3\pi}{8} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) Для решения неравенства $\int_{0}^{x} \cos t \, dt < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ вычислим интеграл:

$\int_{0}^{x} \cos t \, dt = [\sin t]_{0}^{x} = \sin x - \sin 0 = \sin x$.

В результате получаем тригонометрическое неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого неравенства является совокупность интервалов: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения неравенства $\int_{\pi}^{x} \sin \frac{t}{2} \, dt > \sqrt{3}$ вычислим интеграл:

$\int_{\pi}^{x} \sin \frac{t}{2} \, dt = [-2\cos \frac{t}{2}]_{\pi}^{x} = -2\cos(\frac{x}{2}) - (-2\cos(\frac{\pi}{2})) = -2\cos(\frac{x}{2}) - 0 = -2\cos(\frac{x}{2})$.

Неравенство принимает вид $-2\cos(\frac{x}{2}) > \sqrt{3}$, откуда $\cos(\frac{x}{2}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решая это неравенство, получаем $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Умножив все части неравенства на 2, находим решение для $x$:

$\frac{5\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{7\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{3} + 4\pi k; \frac{7\pi}{3} + 4\pi k), k \in \mathbb{Z}$.