Номер 21.35, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.35, страница 139.

21.35. Решите уравнение:

a) $\int_{0}^{t} (e^x - 3x^2 - 2x)dx = e^t - 3;$

б) $\int_{3}^{t} \left(\frac{1}{x - 2} + 2x - 3\right)dx = \ln (t - 2) - t^3 + 6, t > 3.$

а)Для решения данного уравнения сначала вычислим определенный интеграл в левой части.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = e^x - 3x^2 - 2x$:
$F(x) = \int (e^x - 3x^2 - 2x)dx = e^x - \frac{3x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} = e^x - x^3 - x^2$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{t} (e^x - 3x^2 - 2x)dx = [e^x - x^3 - x^2]_{0}^{t} = (e^t - t^3 - t^2) - (e^0 - 0^3 - 0^2) = e^t - t^3 - t^2 - 1$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$e^t - t^3 - t^2 - 1 = e^t - 3$.
Упростим уравнение, вычтя $e^t$ из обеих частей:
$-t^3 - t^2 - 1 = -3$.
Перенесем все члены в левую часть и умножим на -1:
$t^3 + t^2 - 2 = 0$.
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.
Проверим $t=1$: $1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Корень $t=1$ подходит.
Разделим многочлен $t^3 + t^2 - 2$ на $(t-1)$ и получим:
$(t-1)(t^2 + 2t + 2) = 0$.
Уравнение распадается на два: $t-1=0$ или $t^2 + 2t + 2 = 0$.
Первое уравнение дает корень $t=1$.
Для второго уравнения $t^2 + 2t + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, единственным решением является $t=1$.

Ответ: $t=1$.

б)Для решения уравнения с условием $t > 3$ вычислим определенный интеграл в левой части.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{x-2} + 2x - 3$. На промежутке интегрирования $[3, t]$, где $t > 3$, выражение $x-2$ всегда положительно.
$F(x) = \int (\frac{1}{x-2} + 2x - 3)dx = \ln(x-2) + \frac{2x^2}{2} - 3x = \ln(x-2) + x^2 - 3x$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{3}^{t} (\frac{1}{x-2} + 2x - 3)dx = [\ln(x-2) + x^2 - 3x]_{3}^{t} = (\ln(t-2) + t^2 - 3t) - (\ln(3-2) + 3^2 - 3 \cdot 3) = (\ln(t-2) + t^2 - 3t) - (\ln(1) + 9 - 9) = \ln(t-2) + t^2 - 3t$.
Подставим результат в исходное уравнение:
$\ln(t-2) + t^2 - 3t = \ln(t-2) - t^3 + 6$.
Упростим уравнение, вычтя $\ln(t-2)$ из обеих частей:
$t^2 - 3t = -t^3 + 6$.
Перенесем все члены в левую часть:
$t^3 + t^2 - 3t - 6 = 0$.
Найдем целочисленные корни подбором среди делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверим $t=2$: $2^3 + 2^2 - 3(2) - 6 = 8 + 4 - 6 - 6 = 0$. Корень $t=2$ подходит.
Разделим многочлен $t^3 + t^2 - 3t - 6$ на $(t-2)$ и получим:
$(t-2)(t^2 + 3t + 3) = 0$.
Уравнение распадается на два: $t-2=0$ или $t^2 + 3t + 3 = 0$.
Первое уравнение дает корень $t=2$.
Для второго уравнения $t^2 + 3t + 3 = 0$ найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Единственный действительный корень уравнения - $t=2$.
Однако, согласно условию задачи, $t > 3$. Найденный корень $t=2$ не удовлетворяет этому условию ($2 \ngtr 3$).
Следовательно, у исходного уравнения нет решений в указанной области.

Ответ: нет решений.