Номер 21.32, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.32, страница 139.

21.32. При каком значении параметра $a$ уравнение имеет только один корень:

a) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x} \sin t \,dt = a - x^2;$

б) $\int_{0}^{x} \cos t \,dt = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 + a?$

a)

Дано уравнение: $ \int_{\pi/2}^{x} \sin t \,dt = a - x^2 $.

Сначала вычислим определенный интеграл в левой части уравнения. Первообразная для функции $ \sin t $ есть $ -\cos t $. По формуле Ньютона-Лейбница: $ \int_{\pi/2}^{x} \sin t \,dt = [-\cos t]_{\pi/2}^{x} = (-\cos x) - (-\cos(\frac{\pi}{2})) = -\cos x - 0 = -\cos x $.

После вычисления интеграла исходное уравнение принимает вид: $ -\cos x = a - x^2 $.

Выразим параметр $ a $: $ a = x^2 - \cos x $.

Задача сводится к тому, чтобы найти значение параметра $ a $, при котором уравнение $ a = x^2 - \cos x $ имеет ровно один корень. Это означает, что горизонтальная прямая $ y = a $ должна пересекать график функции $ f(x) = x^2 - \cos x $ ровно в одной точке.

Такая ситуация возможна, только если прямая $ y = a $ касается графика функции в его точке глобального экстремума. Чтобы найти экстремумы, исследуем функцию $ f(x) $ с помощью производной: $ f'(x) = (x^2 - \cos x)' = 2x - (-\sin x) = 2x + \sin x $.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $ 2x + \sin x = 0 $.

Заметим, что $ x=0 $ является корнем этого уравнения, так как $ 2(0) + \sin(0) = 0 $. Чтобы определить, есть ли другие корни, рассмотрим производную функции $ g(x) = 2x + \sin x $. $ g'(x) = 2 + \cos x $. Поскольку значение $ \cos x $ находится в пределах $ [-1, 1] $, то $ 1 \le 2 + \cos x \le 3 $. Это означает, что $ g'(x) > 0 $ для всех $ x $, следовательно, функция $ g(x) $ является строго возрастающей. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс только в одной точке, поэтому $ x=0 $ — единственный корень уравнения $ f'(x) = 0 $.

Итак, функция $ f(x) $ имеет единственную критическую точку $ x=0 $. Определим тип этого экстремума с помощью второй производной: $ f''(x) = (2x + \sin x)' = 2 + \cos x $. $ f''(0) = 2 + \cos(0) = 2 + 1 = 3 $. Так как $ f''(0) > 0 $, в точке $ x=0 $ функция $ f(x) $ имеет минимум. Поскольку это единственная критическая точка, это глобальный минимум.

Найдем значение функции в точке минимума: $ f_{min} = f(0) = 0^2 - \cos(0) = 0 - 1 = -1 $.

Уравнение будет иметь единственный корень, только если значение $ a $ будет равно этому минимальному значению. $ a = -1 $.

Ответ: $ a = -1 $.

б)

Дано уравнение: $ \int_{0}^{x} \cos t \,dt = (x - \frac{\pi}{2})^2 + a $.

Вычислим интеграл в левой части. Первообразная для $ \cos t $ есть $ \sin t $. $ \int_{0}^{x} \cos t \,dt = [\sin t]_{0}^{x} = \sin x - \sin 0 = \sin x $.

Тогда уравнение принимает вид: $ \sin x = (x - \frac{\pi}{2})^2 + a $.

Нам нужно найти такое $ a $, чтобы графики функций $ f(x) = \sin x $ и $ g(x) = (x - \frac{\pi}{2})^2 + a $ имели ровно одну точку пересечения. График $ g(x) $ — это парабола с вершиной в точке $ (\frac{\pi}{2}, a) $ и ветвями вверх.

Единственная точка пересечения возможна в случае касания графиков. Условия касания в некоторой точке $ x_0 $: 1. Равенство значений функций: $ f(x_0) = g(x_0) $. 2. Равенство значений производных: $ f'(x_0) = g'(x_0) $.

Найдем производные функций: $ f'(x) = (\sin x)' = \cos x $. $ g'(x) = ((x - \frac{\pi}{2})^2 + a)' = 2(x - \frac{\pi}{2}) $.

Приравняем производные, чтобы найти абсциссу точки касания $ x_0 $: $ \cos x_0 = 2(x_0 - \frac{\pi}{2}) $. Подстановкой убеждаемся, что $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ является корнем: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $ и $ 2(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = 0 $. Чтобы показать, что это решение единственное, рассмотрим функцию $ h(x) = \cos x - 2x + \pi $. Её производная $ h'(x) = -\sin x - 2 $. Поскольку $ -1 \le \sin x \le 1 $, производная $ h'(x) $ всегда отрицательна ($ -3 \le h'(x) \le -1 $). Это значит, что функция $ h(x) $ строго убывает и может иметь не более одного корня. Таким образом, $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ — единственная возможная абсцисса точки касания.

Теперь, зная $ x_0 = \frac{\pi}{2} $, используем первое условие касания $ f(x_0) = g(x_0) $ для нахождения $ a $: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2})^2 + a $ $ 1 = 0^2 + a $ $ a = 1 $.

Проверим, что при $ a=1 $ уравнение действительно имеет единственный корень. Уравнение принимает вид: $ \sin x = (x - \frac{\pi}{2})^2 + 1 $. Рассмотрим обе части этого равенства. Левая часть: $ \sin x \le 1 $ для всех $ x $. Правая часть: $ (x - \frac{\pi}{2})^2 \ge 0 $, следовательно, $ (x - \frac{\pi}{2})^2 + 1 \ge 1 $ для всех $ x $. Равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 1. $ \sin x = 1 $ и $ (x - \frac{\pi}{2})^2 + 1 = 1 $. Второе уравнение дает $ (x - \frac{\pi}{2})^2 = 0 $, откуда $ x = \frac{\pi}{2} $. Подставляем это значение в первое уравнение: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, что верно. Следовательно, уравнение имеет единственный корень $ x = \frac{\pi}{2} $ только при $ a=1 $.

Ответ: $ a = 1 $.