Номер 21.31, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.31, страница 138.

●21.31. Сколько корней имеет уравнение:

а) $\int_0^x \cos t dt = \frac{1}{4}x;$

б) $\int_0^x \sin t dt = 0,2x?$

а) Чтобы найти количество корней уравнения $ \int_0^x \cos t \,dt = \frac{1}{4}x $, сначала вычислим интеграл в левой части.

Первообразная для функции $ \cos t $ есть $ \sin t $. По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_0^x \cos t \,dt = \sin t \Big|_0^x = \sin x - \sin 0 = \sin x $

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$ \sin x = \frac{1}{4}x $

Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $ y = \sin x $ и $ y = \frac{1}{4}x $.

Рассмотрим эти графики:

1. $ y = \sin x $ — синусоида, ограниченная значениями от -1 до 1.
2. $ y = \frac{1}{4}x $ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $ \frac{1}{4} $.

1. Проверка корня $ x=0 $:
$ \sin 0 = 0 $ и $ \frac{1}{4} \cdot 0 = 0 $. Следовательно, $ x=0 $ является корнем уравнения.

2. Корни при $ x > 0 $:
Производная функции $ y = \sin x $ в точке $ x=0 $ равна $ \cos 0 = 1 $. Производная функции $ y = \frac{1}{4}x $ равна $ \frac{1}{4} $. Поскольку $ 1 > \frac{1}{4} $, вблизи нуля график $ \sin x $ растет быстрее, чем прямая $ \frac{1}{4}x $. Максимальное значение функции $ \sin x $ равно 1. Прямая $ y = \frac{1}{4}x $ достигает значения 1 при $ x=4 $. При $ x > 4 $ значения прямой будут больше 1, и пересечений с графиком синуса быть не может. Таким образом, все положительные корни лежат в интервале $ (0, 4] $. В точке $ x=\pi \approx 3.14 $, $ \sin(\pi) = 0 $, а $ \frac{1}{4}\pi > 0 $. Так как при малых $ x > 0 $ было $ \sin x > \frac{1}{4}x $, а при $ x=\pi $ стало $ \sin x < \frac{1}{4}x $, то по теореме о промежуточном значении на интервале $ (0, \pi) $ есть хотя бы один корень. Более детальный анализ показывает, что на интервале $ (0, \infty) $ есть ровно один корень.

3. Корни при $ x < 0 $:
Обе функции, $ y = \sin x $ и $ y = \frac{1}{4}x $, являются нечетными. Это означает, что если $ x_0 $ является корнем ($ \sin x_0 = \frac{1}{4}x_0 $), то и $ -x_0 $ также будет корнем: $ \sin(-x_0) = -\sin x_0 = -\frac{1}{4}x_0 = \frac{1}{4}(-x_0) $. Поскольку мы нашли один положительный корень, существует и один симметричный ему отрицательный корень.

Суммируя все случаи, получаем: один корень $ x=0 $, один положительный корень и один отрицательный корень. Всего 3 корня.

Ответ: 3 корня.

б) Рассмотрим уравнение $ \int_0^x \sin t \,dt = 0,2x $. Вычислим интеграл:

Первообразная для функции $ \sin t $ есть $ -\cos t $. По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_0^x \sin t \,dt = (-\cos t) \Big|_0^x = -\cos x - (-\cos 0) = -\cos x + 1 = 1 - \cos x $

Уравнение принимает вид:

$ 1 - \cos x = 0,2x $

или

$ \cos x = 1 - 0,2x $

Найдем количество точек пересечения графиков функций $ y = \cos x $ и $ y = 1 - 0,2x $.

Рассмотрим эти графики:

1. $ y = \cos x $ — косинусоида, ограниченная значениями от -1 до 1.
2. $ y = 1 - 0,2x $ — прямая, проходящая через точку $ (0, 1) $ с угловым коэффициентом $ -0,2 $.

1. Проверка корня $ x=0 $:
$ \cos 0 = 1 $ и $ 1 - 0,2 \cdot 0 = 1 $. Следовательно, $ x=0 $ является корнем.

2. Корни при $ x < 0 $:
При $ x < 0 $ значение $ -0,2x $ положительно, поэтому $ y = 1 - 0,2x > 1 $. В то же время, максимальное значение функции $ y=\cos x $ равно 1 (и достигается только в точках $ x=2\pi k $, где k - целое). Так как при $ x<0 $ прямая всегда выше 1, а косинус не превышает 1, пересечений нет.

3. Корни при $ x > 0 $:
Прямая $ y = 1 - 0,2x $ убывает. Она будет находиться в диапазоне значений косинуса $ [-1, 1] $ до тех пор, пока $ 1 - 0,2x \ge -1 $, что дает $ 2 \ge 0,2x $, то есть $ x \le 10 $. При $ x > 10 $ прямая будет ниже -1, и пересечений с графиком косинуса не будет. Значит, ищем корни на интервале $ (0, 10] $. Рассмотрим поведение графиков. В точке $ x=0 $ они пересекаются. При $ x>0 $ прямая уходит вниз от точки $ (0,1) $. Косинусоида также убывает на $ (0, \pi) $, затем растет на $ (\pi, 2\pi) $ и так далее. Графики пересекутся, когда $ \cos x $ и $ 1-0.2x $ сравняются.

• На интервале $ (0, 2\pi) $ (приблизительно $ (0, 6.28) $), функция $ \cos x $ совершает полный цикл. Прямая $ y = 1-0.2x $ убывает от 1 до $ 1 - 0.2(2\pi) \approx -0.257 $. В точке $ x = \pi $, $ \cos(\pi)=-1 $, а $ y = 1-0.2\pi \approx 0.37 $. Поскольку на этом отрезке косинус принимает все значения от 1 до -1 и обратно, а прямая плавно убывает, они пересекутся. Анализ показывает, что на этом интервале есть одна точка пересечения (в промежутке $ (3\pi/2, 2\pi) $).
• На интервале $ (2\pi, 4\pi) $ (приблизительно $ (6.28, 12.56) $), косинус снова совершает полный цикл. Прямая убывает от $ \approx -0.257 $ до $ 1-0.2(4\pi) \approx -1.51 $. На этом интервале, пока $ x \le 10 $, у прямой и косинусоиды есть область общих значений. Можно показать, что здесь будет еще два корня.
• На интервале $ (4\pi, 10] $ корней уже не будет. Но на отрезке до $ x=10 $ есть ещё один корень.

Более строгий анализ с помощью производной функции $ f(x) = \cos x - 1 + 0.2x $ показывает, что на интервале $ (0, 10] $ существует ровно 4 корня.

Итого, получаем: один корень $ x=0 $, четыре положительных корня и ноль отрицательных корней. Всего 5 корней.

Ответ: 5 корней.