Номер 21.24, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.24, страница 136.

○21.24. Вычислите $\int_{-2}^{3} f(x) dx$, если график функции $y = f(x)$ изображён на заданном рисунке:

а) рис. 1;

б) рис. 2.

Рис. 1

Рис. 2

а) рис. 1

Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$. На рисунке 1 функция $f(x) \ge 0$ на всем отрезке интегрирования $[-2, 3]$.

Фигуру под графиком можно разбить на две части: трапецию на отрезке $[-2, 1]$ и прямоугольник на отрезке $[1, 3]$.

Площадь трапеции $S_1$ с основаниями, равными значениям функции в концах отрезка $f(-2)=4$ и $f(1)=1$, и высотой $h_1 = 1 - (-2) = 3$, вычисляется по формуле:
$S_1 = \frac{4+1}{2} \cdot 3 = \frac{5}{2} \cdot 3 = 7,5$.

Площадь прямоугольника $S_2$ на отрезке $[1, 3]$ с основанием $3-1=2$ и высотой, равной $f(x)=1$, составляет:
$S_2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, значение интеграла равно сумме площадей этих фигур:
$\int_{-2}^{3} f(x) dx = S_1 + S_2 = 7,5 + 2 = 9,5$.

Ответ: 9,5

б) рис. 2

Аналогично, значение интеграла $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ равно площади фигуры под графиком функции $y=f(x)$, так как на данном отрезке $f(x) \ge 0$. Разобьем эту фигуру в точке минимума $x=1$ на две части.

Первая часть на отрезке $[-2, 1]$ представляет собой трапецию (которая в данном случае является треугольником, так как одно из оснований равно нулю). Основания равны $f(-2)=3$ и $f(1)=0$, а высота $h_1 = 1 - (-2) = 3$. Площадь этой фигуры $S_1$:
$S_1 = \frac{3+0}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.

Вторая часть на отрезке $[1, 3]$ — это треугольник. Его основание равно $3-1=2$, а высота, судя по графику, равна $f(3)=2,5$. Площадь этого треугольника $S_2$:
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2,5 = 2,5$.

Полная площадь, равная значению интеграла, есть сумма площадей $S_1$ и $S_2$:
$\int_{-2}^{3} f(x) dx = S_1 + S_2 = 4,5 + 2,5 = 7$.

Ответ: 7