Страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

○21.24. Вычислите $\int_{-2}^{3} f(x) dx$, если график функции $y = f(x)$ изображён на заданном рисунке:

а) рис. 1;

б) рис. 2.

Рис. 1

Рис. 2

а) рис. 1

Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$. На рисунке 1 функция $f(x) \ge 0$ на всем отрезке интегрирования $[-2, 3]$.

Фигуру под графиком можно разбить на две части: трапецию на отрезке $[-2, 1]$ и прямоугольник на отрезке $[1, 3]$.

Площадь трапеции $S_1$ с основаниями, равными значениям функции в концах отрезка $f(-2)=4$ и $f(1)=1$, и высотой $h_1 = 1 - (-2) = 3$, вычисляется по формуле:
$S_1 = \frac{4+1}{2} \cdot 3 = \frac{5}{2} \cdot 3 = 7,5$.

Площадь прямоугольника $S_2$ на отрезке $[1, 3]$ с основанием $3-1=2$ и высотой, равной $f(x)=1$, составляет:
$S_2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, значение интеграла равно сумме площадей этих фигур:
$\int_{-2}^{3} f(x) dx = S_1 + S_2 = 7,5 + 2 = 9,5$.

Ответ: 9,5

б) рис. 2

Аналогично, значение интеграла $\int_{-2}^{3} f(x) dx$ равно площади фигуры под графиком функции $y=f(x)$, так как на данном отрезке $f(x) \ge 0$. Разобьем эту фигуру в точке минимума $x=1$ на две части.

Первая часть на отрезке $[-2, 1]$ представляет собой трапецию (которая в данном случае является треугольником, так как одно из оснований равно нулю). Основания равны $f(-2)=3$ и $f(1)=0$, а высота $h_1 = 1 - (-2) = 3$. Площадь этой фигуры $S_1$:
$S_1 = \frac{3+0}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.

Вторая часть на отрезке $[1, 3]$ — это треугольник. Его основание равно $3-1=2$, а высота, судя по графику, равна $f(3)=2,5$. Площадь этого треугольника $S_2$:
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2,5 = 2,5$.

Полная площадь, равная значению интеграла, есть сумма площадей $S_1$ и $S_2$:
$\int_{-2}^{3} f(x) dx = S_1 + S_2 = 4,5 + 2,5 = 7$.

Ответ: 7

21.25. Вычислите $\int_{-2}^{3} f(x) dx$, если график функции $y = f(x)$ изо- бражён на заданном рисунке:

а) рис. 3;

б) рис. 4.

Puc. 3

Puc. 4

Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x)dx$ равен знаковой площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс (осью Ox) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Площадь части фигуры, расположенной выше оси Ox, берется со знаком плюс, а площадь части фигуры, расположенной ниже оси Ox, — со знаком минус.

а) рис. 3

Требуется вычислить интеграл $\int_{-2}^{3} f(x)dx$. Разобьем фигуру, ограниченную графиком функции, осью Ox и прямыми $x=-2$ и $x=3$, на более простые геометрические фигуры.

1. На отрезке $[-2, -1]$ график функции представляет собой отрезок прямой $y=1$. Фигура, ограниченная этим отрезком, осью Ox и прямыми $x=-2$ и $x=-1$, является прямоугольником. Его основание равно $(-1) - (-2) = 1$, а высота равна 1. Этот прямоугольник находится выше оси Ox, поэтому его площадь берется со знаком плюс.
$S_1 = 1 \times 1 = 1$.

2. На отрезке $[-1, 3]$ график функции является отрезком прямой, проходящей через точки $(-1, 1)$ и $(3, -3)$. Уравнение этой прямой $y=-x$. Эта прямая пересекает ось Ox в точке $x=0$. Поэтому площадь под (и над) графиком на этом отрезке состоит из двух частей.

- На отрезке $[-1, 0]$ фигура является прямоугольным треугольником с катетами, равными 1 (по оси Ox от -1 до 0) и 1 (по оси Oy от 0 до 1). Треугольник находится выше оси Ox, поэтому его площадь берется со знаком плюс.
$S_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.

- На отрезке $[0, 3]$ фигура является прямоугольным треугольником с катетами, равными 3 (по оси Ox от 0 до 3) и 3 (по оси Oy от 0 до -3). Треугольник находится ниже оси Ox, поэтому его площадь берется со знаком минус.
$S_3 = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$.

Значение интеграла равно сумме знаковых площадей этих фигур:
$\int_{-2}^{3} f(x)dx = S_1 + S_2 - S_3 = 1 + 0.5 - 4.5 = -3$.

Ответ: -3.

б) рис. 4

Требуется вычислить интеграл $\int_{-2}^{3} f(x)dx$. График функции $y=f(x)$ представляет собой функцию $y=|x|-1$. График пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=1$. Разобьем фигуру на три части.

1. На отрезке $[-2, -1]$ фигура представляет собой треугольник, расположенный выше оси Ox. Его вершины находятся в точках $(-2, 1)$, $(-1, 0)$ и $(-2, 0)$. Основание треугольника равно $|-1 - (-2)| = 1$, высота равна 1. Площадь берется со знаком плюс.
$S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.

2. На отрезке $[-1, 1]$ фигура представляет собой треугольник, расположенный ниже оси Ox. Его вершины находятся в точках $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, -1)$. Основание треугольника равно $|1 - (-1)| = 2$, высота равна $|-1|=1$. Площадь берется со знаком минус.
$S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$.

3. На отрезке $[1, 3]$ фигура представляет собой треугольник, расположенный выше оси Ox. Его вершины находятся в точках $(1, 0)$, $(3, 2)$ и $(3, 0)$. Основание треугольника равно $|3 - 1| = 2$, высота равна 2. Площадь берется со знаком плюс.
$S_3 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.

Значение интеграла равно сумме знаковых площадей этих фигур:
$\int_{-2}^{3} f(x)dx = S_1 - S_2 + S_3 = 0.5 - 1 + 2 = 1.5$.

Ответ: 1.5.