Страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.42. Дан прямолинейный неоднородный стержень $[0; l]$, его плотность в точке $x$ определяется по формуле $\rho = \rho(x)$.

Найдите массу стержня, если:

а) $\rho(x) = x^2 + x + 1, l = 6;$

б) $\rho(x) = \frac{1}{(x + 3)^2}, l = 3;$

в) $\rho(x) = -x^2 + 6x, l = 2;$

г) $\rho(x) = \frac{1}{(2x + 1)^2}, l = 1.$

Масса неоднородного прямолинейного стержня на отрезке $[0; l]$ с переменной плотностью $\rho(x)$ вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:

$m = \int_0^l \rho(x)dx$

Найдем массу стержня для каждого из заданных случаев.

а) Дано $\rho(x) = x^2 + x + 1$ и $l = 6$.

Масса стержня равна интегралу от плотности по длине стержня от 0 до 6:

$m = \int_0^6 (x^2 + x + 1)dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница $m = F(l) - F(0)$:

$m = \left(\frac{6^3}{3} + \frac{6^2}{2} + 6\right) - \left(\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0\right) = \left(\frac{216}{3} + \frac{36}{2} + 6\right) - 0 = (72 + 18 + 6) = 96$

Ответ: 96

б) Дано $\rho(x) = \frac{1}{(x + 3)^2}$ и $l = 3$.

Масса стержня равна:

$m = \int_0^3 \frac{1}{(x + 3)^2}dx = \int_0^3 (x+3)^{-2}dx$

Найдем первообразную. Для функции вида $(ax+b)^n$ первообразная равна $\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$. В нашем случае $a=1, b=3, n=-2$.

$F(x) = \frac{(x+3)^{-2+1}}{1 \cdot (-2+1)} = \frac{(x+3)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+3}$

Вычислим определенный интеграл:

$m = F(3) - F(0) = \left(-\frac{1}{3+3}\right) - \left(-\frac{1}{0+3}\right) = -\frac{1}{6} - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

в) Дано $\rho(x) = -x^2 + 6x$ и $l = 2$.

Масса стержня равна:

$m = \int_0^2 (-x^2 + 6x)dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 3x^2$

Вычислим определенный интеграл:

$m = F(2) - F(0) = \left(-\frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2\right) = \left(-\frac{8}{3} + 3 \cdot 4\right) - 0 = -\frac{8}{3} + 12 = -\frac{8}{3} + \frac{36}{3} = \frac{28}{3}$

Ответ: $\frac{28}{3}$

г) Дано $\rho(x) = \frac{1}{(2x + 1)^2}$ и $l = 1$.

Масса стержня равна:

$m = \int_0^1 \frac{1}{(2x + 1)^2}dx = \int_0^1 (2x+1)^{-2}dx$

Найдем первообразную. В данном случае $a=2, b=1, n=-2$.

$F(x) = \frac{(2x+1)^{-2+1}}{2 \cdot (-2+1)} = \frac{(2x+1)^{-1}}{-2} = -\frac{1}{2(2x+1)}$

Вычислим определенный интеграл:

$m = F(1) - F(0) = \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 1 + 1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 0 + 1)}\right) = \left(-\frac{1}{2 \cdot 3}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1}\right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

21.43. a) $y = x^2$, $y = 0$, $x = 4$;

б) $y = x^3$, $y = 0$, $x = -3$, $x = 1$;

в) $y = x^2$, $y = 0$, $x = -3$;

г) $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2$.

а) Фигура ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальной прямой $x = 4$. Левая граница фигуры определяется точкой пересечения параболы $y = x^2$ с осью $y = 0$, что происходит при $x = 0$. Таким образом, искомая площадь находится на отрезке $[0, 4]$.
На отрезке $[0, 4]$ функция $f(x) = x^2$ является неотрицательной ($x^2 \ge 0$). Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла:
$S = \int_{0}^{4} x^2 \,dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$: $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3}$.
Ответ: $\frac{64}{3}$ или $21\frac{1}{3}$.

б) Фигура ограничена кубической параболой $y = x^3$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = -3$ и $x = 1$.
На отрезке $[-3, 1]$ функция $f(x) = x^3$ меняет знак:

• при $x \in [-3, 0]$, $f(x) \le 0$, поэтому фигура расположена ниже оси Ox.
• при $x \in [0, 1]$, $f(x) \ge 0$, поэтому фигура расположена выше оси Ox.

Площадь фигуры равна сумме площадей двух частей, которые вычисляются как интеграл от модуля функции:
$S = \int_{-3}^{1} |x^3| \,dx = \int_{-3}^{0} (-x^3) \,dx + \int_{0}^{1} x^3 \,dx$.
Найдем первообразную для $x^3$: $F(x) = \frac{x^4}{4}$.
Вычислим каждый интеграл:
$\int_{-3}^{0} (-x^3) \,dx = \left. -\frac{x^4}{4} \right|_{-3}^{0} = (-\frac{0^4}{4}) - (-\frac{(-3)^4}{4}) = 0 - (-\frac{81}{4}) = \frac{81}{4}$.
$\int_{0}^{1} x^3 \,dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.
Суммарная площадь:
$S = \frac{81}{4} + \frac{1}{4} = \frac{82}{4} = \frac{41}{2}$.
Ответ: $\frac{41}{2}$ или $20,5$.

в) Фигура ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальной прямой $x = -3$. Правая граница фигуры определяется точкой пересечения параболы $y = x^2$ с осью $y = 0$, то есть при $x = 0$. Таким образом, искомая площадь находится на отрезке $[-3, 0]$.
На отрезке $[-3, 0]$ функция $f(x) = x^2$ является неотрицательной ($x^2 \ge 0$). Площадь вычисляется по формуле:
$S = \int_{-3}^{0} x^2 \,dx$.
Первообразная для $x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^{0} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = 0 - \frac{-27}{3} = 0 - (-9) = 9$.
Ответ: $9$.

г) Фигура ограничена графиком функции $y = x^4$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 2$.
На всем отрезке $[-1, 2]$ функция $f(x) = x^4$ является неотрицательной, так как любая степень с четным показателем дает неотрицательный результат ($x^4 \ge 0$).
Площадь вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{-1}^{2} x^4 \,dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = x^4$: $F(x) = \frac{x^5}{5}$.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{-1}{5} = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$.
Ответ: $\frac{33}{5}$ или $6,6$.

21.44. a) $y = x^3 + 2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

б) $y = -x^2 + 4x$, $y = 0$;

в) $y = 4 - x^2$, $y = 0$;

г) $y = -x^3 + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -2$.

а) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 + 2$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 2$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура расположена в первой четверти, так как на отрезке $[0, 2]$ функция $y = x^3 + 2$ положительна ($x^3 \ge 0$, следовательно $x^3 + 2 > 0$).
Площадь $S$ вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{0}^{2} (x^3 + 2) \,dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^3 + 2$.
$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2x = \frac{x^4}{4} + 2x$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$S = F(2) - F(0) = \left(\frac{2^4}{4} + 2 \cdot 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 2 \cdot 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 4\right) - 0 = 4 + 4 = 8$.
Ответ: 8.

б) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4x$ и $y = 0$, сначала найдем пределы интегрирования. Для этого приравняем функции:
$-x^2 + 4x = 0$
$x(-x + 4) = 0$
Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и будут наши пределы интегрирования.
На интервале $(0, 4)$ функция $y = -x^2 + 4x$ положительна (ветви параболы направлены вниз, а корни в точках 0 и 4).
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \,dx$
Найдем первообразную:
$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$
Вычислим интеграл:
$S = F(4) - F(0) = \left(-\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2\right) = \left(-\frac{64}{3} + 2 \cdot 16\right) - 0 = -\frac{64}{3} + 32 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.
Ответ: $10\frac{2}{3}$.

в) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = 0$, найдем пределы интегрирования, решив уравнение $4 - x^2 = 0$:
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
На интервале $(-2, 2)$ функция $y = 4 - x^2$ положительна (ветви параболы направлены вниз, корни в точках -2 и 2).
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx$
Найдем первообразную:
$F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$
Вычислим интеграл:
$S = F(2) - F(-2) = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 - \frac{-8}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.
Ответ: $10\frac{2}{3}$.

г) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = -x^3 + 1$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = -2$, необходимо вычислить определенный интеграл. Пределы интегрирования заданы: от -2 до 0.
Проверим знак функции $y = -x^3 + 1$ на отрезке $[-2, 0]$. Корень уравнения $-x^3 + 1 = 0$ равен $x=1$, что не входит в данный отрезок. Возьмем любую точку из интервала, например $x=-1$. $y(-1) = -(-1)^3 + 1 = 1 + 1 = 2 > 0$. Значит, на всем отрезке $[-2, 0]$ функция положительна.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-2}^{0} (-x^3 + 1) \,dx$
Найдем первообразную:
$F(x) = -\frac{x^4}{4} + x$
Вычислим интеграл:
$S = F(0) - F(-2) = \left(-\frac{0^4}{4} + 0\right) - \left(-\frac{(-2)^4}{4} + (-2)\right) = 0 - \left(-\frac{16}{4} - 2\right) = -(-4 - 2) = -(-6) = 6$.
Ответ: 6.

21.45. а) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$;

в) $y = -\frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = -3$;

г) $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 4$.

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Если $f(x) < 0$ на отрезке $[a, b]$, то площадь равна $S = -\int_{a}^{b} f(x) dx$.

а) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$.

На отрезке $[1, 2]$ функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна, поэтому площадь фигуры равна:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-2}$:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(1) = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$.

На отрезке $[1, 9]$ функция $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ положительна, поэтому площадь фигуры равна:

$S = \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/2}$:

$F(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$

Вычислим определенный интеграл:

$S = F(9) - F(1) = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4$

Ответ: $4$

в) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = -3$.

Пределы интегрирования $a = -3$ и $b = -1$. На отрезке $[-3, -1]$ функция $y = -\frac{1}{x^2}$ отрицательна (график расположен под осью Ox). Площадь фигуры можно найти как интеграл от модуля функции или как интеграл от разности верхней и нижней границ ($y=0$ и $y = -\frac{1}{x^2}$).

$S = \int_{-3}^{-1} \left(0 - \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right) dx = \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x^2} dx$

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ была найдена в пункте а): $F(x) = -\frac{1}{x}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = F(-1) - F(-3) = \left(-\frac{1}{-1}\right) - \left(-\frac{1}{-3}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 4$.

На отрезке $[1, 4]$ функция $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$ положительна, поэтому площадь фигуры равна:

$S = \int_{1}^{4} \frac{2}{\sqrt{x}} dx$

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = 2x^{-1/2}$:

$F(x) = \int 2x^{-1/2} dx = 2 \int x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x}$

Вычислим определенный интеграл:

$S = F(4) - F(1) = 4\sqrt{4} - 4\sqrt{1} = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 8 - 4 = 4$

Ответ: $4$

21.46. а) $y = \sin x, y = 0, x = \frac{\pi}{2};$

б) $y = \cos 2x, y = 0, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{6};$

в) $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4};$

г) $y = \sin \frac{x}{2}, y = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi.$

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x = \frac{\pi}{2}$. Нижним пределом интегрирования является точка пересечения графика $y = \sin x$ с осью $Ox$, то есть $x = 0$, так как рассматривается область в первой четверти, примыкающая к оси ординат. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($ \sin x \ge 0 $), поэтому площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$

Найдем первообразную для функции $\sin x$. Первообразная равна $-\cos x$. Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1$.

Ответ: 1.

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. Площадь данной фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. На отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ аргумент $2x$ изменяется в пределах от $2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3}$ до $2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. На интервале $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ функция косинус неотрицательна, следовательно $y = \cos 2x \ge 0$ на всем отрезке интегрирования. Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \,dx$

Поскольку функция $y = \cos 2x$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \,dx$

Первообразная для функции $\cos 2x$ равна $\frac{1}{2}\sin 2x$. Вычислим интеграл:

$S = 2 \left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = [\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \sin(2 \cdot 0) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна, так как косинус положителен в IV и I четвертях. Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Функция $y = \cos x$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, поэтому:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$. Вычислим значение интеграла:

$S = 2 [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 \left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0)\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

г)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin\frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \pi$. Пределы интегрирования заданы: от $a = \frac{\pi}{2}$ до $b = \pi$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ аргумент $\frac{x}{2}$ изменяется в пределах от $\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ до $\frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$. На интервале $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ функция синус неотрицательна, значит $y = \sin\frac{x}{2} \ge 0$ на всем отрезке интегрирования. Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin\frac{x}{2} \,dx$

Первообразная для функции $\sin\frac{x}{2}$ равна $-2\cos\frac{x}{2}$. Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[-2\cos\frac{x}{2}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \left(-2\cos\frac{\pi}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right) = \left(-2\cos\frac{\pi}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\pi}{4}\right) = (-2 \cdot 0) - \left(-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.