Номер 21.44, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.44, страница 141.

21.44. a) $y = x^3 + 2$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

б) $y = -x^2 + 4x$, $y = 0$;

в) $y = 4 - x^2$, $y = 0$;

г) $y = -x^3 + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -2$.

а) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 + 2$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 2$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура расположена в первой четверти, так как на отрезке $[0, 2]$ функция $y = x^3 + 2$ положительна ($x^3 \ge 0$, следовательно $x^3 + 2 > 0$).
Площадь $S$ вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{0}^{2} (x^3 + 2) \,dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^3 + 2$.
$F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2x = \frac{x^4}{4} + 2x$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$S = F(2) - F(0) = \left(\frac{2^4}{4} + 2 \cdot 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 2 \cdot 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 4\right) - 0 = 4 + 4 = 8$.
Ответ: 8.

б) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4x$ и $y = 0$, сначала найдем пределы интегрирования. Для этого приравняем функции:
$-x^2 + 4x = 0$
$x(-x + 4) = 0$
Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и будут наши пределы интегрирования.
На интервале $(0, 4)$ функция $y = -x^2 + 4x$ положительна (ветви параболы направлены вниз, а корни в точках 0 и 4).
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \,dx$
Найдем первообразную:
$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$
Вычислим интеграл:
$S = F(4) - F(0) = \left(-\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2\right) = \left(-\frac{64}{3} + 2 \cdot 16\right) - 0 = -\frac{64}{3} + 32 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.
Ответ: $10\frac{2}{3}$.

в) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = 0$, найдем пределы интегрирования, решив уравнение $4 - x^2 = 0$:
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
На интервале $(-2, 2)$ функция $y = 4 - x^2$ положительна (ветви параболы направлены вниз, корни в точках -2 и 2).
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx$
Найдем первообразную:
$F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$
Вычислим интеграл:
$S = F(2) - F(-2) = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 - \frac{-8}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.
Ответ: $10\frac{2}{3}$.

г) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = -x^3 + 1$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = -2$, необходимо вычислить определенный интеграл. Пределы интегрирования заданы: от -2 до 0.
Проверим знак функции $y = -x^3 + 1$ на отрезке $[-2, 0]$. Корень уравнения $-x^3 + 1 = 0$ равен $x=1$, что не входит в данный отрезок. Возьмем любую точку из интервала, например $x=-1$. $y(-1) = -(-1)^3 + 1 = 1 + 1 = 2 > 0$. Значит, на всем отрезке $[-2, 0]$ функция положительна.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-2}^{0} (-x^3 + 1) \,dx$
Найдем первообразную:
$F(x) = -\frac{x^4}{4} + x$
Вычислим интеграл:
$S = F(0) - F(-2) = \left(-\frac{0^4}{4} + 0\right) - \left(-\frac{(-2)^4}{4} + (-2)\right) = 0 - \left(-\frac{16}{4} - 2\right) = -(-4 - 2) = -(-6) = 6$.
Ответ: 6.