Номер 21.48, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.48, страница 142.

21.48. а) $y = x, y = -0,5x + 5, x = -1, x = 3;$

б) $y = 2x, y = x - 2, x = 4;$

в) $y = -x, y = 3 - \frac{x}{4}, x = -2, x = 1;$

г) $y = 1 - x, y = 3 - 2x, x = 0.$

а)

Фигура ограничена прямыми $y = x$, $y = -0,5x + 5$, $x = -1$ и $x = 3$. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы вычислим определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая — нижней на промежутке $[-1, 3]$.

Сравним значения функций, например, в точке $x = 0$, которая принадлежит интервалу $[-1, 3]$:

$y_1 = x \Rightarrow y_1(0) = 0$

$y_2 = -0,5x + 5 \Rightarrow y_2(0) = 5$

Так как $5 > 0$, функция $y = -0,5x + 5$ является верхней, а $y = x$ — нижней на данном промежутке. Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (y_{верх}(x) - y_{нижн}(x)) dx$

Подставим наши функции и пределы интегрирования:

$S = \int_{-1}^{3} ((-0,5x + 5) - x) dx = \int_{-1}^{3} (5 - 1,5x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 5x - 1,5 \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{3} = \left[ 5x - 0,75x^2 \right]_{-1}^{3} = (5 \cdot 3 - 0,75 \cdot 3^2) - (5 \cdot (-1) - 0,75 \cdot (-1)^2) = (15 - 0,75 \cdot 9) - (-5 - 0,75) = (15 - 6,75) - (-5,75) = 8,25 + 5,75 = 14$

Ответ: 14

б)

Фигура ограничена прямыми $y = 2x$, $y = x - 2$ и $x = 4$. Чтобы найти площадь замкнутой фигуры, сначала найдем точку пересечения прямых $y = 2x$ и $y = x - 2$, которая определит левую границу интегрирования.

$2x = x - 2 \Rightarrow x = -2$

Таким образом, интегрирование будет производиться на промежутке $[-2, 4]$. Сравним функции на этом промежутке, чтобы определить верхнюю и нижнюю кривые. Возьмем разность функций:

$2x - (x - 2) = x + 2$

На промежутке $[-2, 4]$ выражение $x+2 \geq 0$, следовательно, функция $y = 2x$ является верхней, а $y = x - 2$ — нижней.

Вычислим площадь фигуры:

$S = \int_{-2}^{4} (2x - (x - 2)) dx = \int_{-2}^{4} (x + 2) dx$

$S = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{4} = (\frac{4^2}{2} + 2 \cdot 4) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)) = (\frac{16}{2} + 8) - (\frac{4}{2} - 4) = (8 + 8) - (2 - 4) = 16 - (-2) = 18$

Ответ: 18

в)

Фигура ограничена прямыми $y = -x$, $y = 3 - \frac{x}{4}$, $x = -2$ и $x = 1$. Промежуток интегрирования задан: $[-2, 1]$. Определим, какая из функций является верхней. Сравним их, взяв разность:

$(3 - \frac{x}{4}) - (-x) = 3 - \frac{x}{4} + x = 3 + \frac{3}{4}x$

Проверим знак этого выражения на промежутке $[-2, 1]$. В точке $x = -2$ выражение равно $3 + \frac{3}{4}(-2) = 3 - 1,5 = 1,5 > 0$. В точке $x=1$ выражение равно $3 + \frac{3}{4}(1) = 3,75 > 0$. Точка пересечения прямых $3 - \frac{x}{4} = -x \Rightarrow 3 = -\frac{3}{4}x \Rightarrow x = -4$. Так как $-4$ не входит в промежуток $[-2, 1]$, знак разности на нем постоянен. Следовательно, функция $y = 3 - \frac{x}{4}$ является верхней, а $y = -x$ — нижней.

Вычислим площадь фигуры:

$S = \int_{-2}^{1} ((3 - \frac{x}{4}) - (-x)) dx = \int_{-2}^{1} (3 + \frac{3}{4}x) dx$

$S = \left[ 3x + \frac{3}{4} \cdot \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} = \left[ 3x + \frac{3x^2}{8} \right]_{-2}^{1} = (3 \cdot 1 + \frac{3 \cdot 1^2}{8}) - (3 \cdot (-2) + \frac{3 \cdot (-2)^2}{8}) = (3 + \frac{3}{8}) - (-6 + \frac{3 \cdot 4}{8}) = \frac{27}{8} - (-6 + \frac{3}{2}) = \frac{27}{8} - (-\frac{12}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{27}{8} - (-\frac{9}{2}) = \frac{27}{8} + \frac{36}{8} = \frac{63}{8}$

Ответ: $\frac{63}{8}$

г)

Фигура ограничена прямыми $y = 1 - x$, $y = 3 - 2x$ и $x = 0$. Правая граница интегрирования определяется точкой пересечения прямых $y = 1 - x$ и $y = 3 - 2x$.

$1 - x = 3 - 2x \Rightarrow 2x - x = 3 - 1 \Rightarrow x = 2$

Промежуток интегрирования — $[0, 2]$. Определим верхнюю и нижнюю функции на этом промежутке, рассмотрев их разность:

$(3 - 2x) - (1 - x) = 2 - x$

На промежутке $[0, 2]$ выражение $2 - x \geq 0$, значит, функция $y = 3 - 2x$ является верхней, а $y = 1 - x$ — нижней.

Вычислим площадь фигуры:

$S = \int_{0}^{2} ((3 - 2x) - (1 - x)) dx = \int_{0}^{2} (2 - x) dx$

$S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = (2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) = (4 - \frac{4}{2}) - 0 = 4 - 2 = 2$

Ответ: 2