Номер 21.53, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.53, страница 142.

21.53. a) $y = 0$, $x = 4$, $y = \sqrt{x}$;

б) $y = 1$, $x = 0$, $y = \sqrt[3]{x}$;

в) $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$, $y = \frac{1}{x^2}$;

г) $y = 2$, $x = 0$, $y = \sqrt{x}$.

а)

Фигура ограничена линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 4$ и $y = \sqrt{x}$.
Площадь данной фигуры, которая является криволинейной трапецией, можно вычислить с помощью определённого интеграла. Верхней границей фигуры является функция $y = \sqrt{x}$, а нижней — прямая $y = 0$. Пределы интегрирования по оси $x$ определяются из условия: левая граница — точка пересечения кривой $y = \sqrt{x}$ с осью $y=0$, то есть $x=0$, а правая граница задана условием $x = 4$.
Формула для вычисления площади: $S = \int_a^b (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) \,dx$.
В нашем случае $f_{верх}(x) = \sqrt{x}$, $f_{ниж}(x) = 0$, $a = 0$, $b = 4$.
$S = \int_0^4 (\sqrt{x} - 0) \,dx = \int_0^4 x^{1/2} \,dx$.
Найдём первообразную для $x^{1/2}$: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.
Теперь вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $S = F(b) - F(a)$.
$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^4 = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Ответ: $\frac{16}{3}$.

б)

Фигура ограничена линиями $y = 1$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt[3]{x}$.
Сначала найдём точку пересечения кривой $y = \sqrt[3]{x}$ и прямой $y=1$, чтобы определить пределы интегрирования. $1 = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x = 1^3 = 1$.
Фигура ограничена сверху прямой $y = 1$, снизу — кривой $y = \sqrt[3]{x}$. Пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $1$.
$S = \int_a^b (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) \,dx = \int_0^1 (1 - \sqrt[3]{x}) \,dx = \int_0^1 (1 - x^{1/3}) \,dx$.
Найдём первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = x - \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = x - \frac{x^{4/3}}{4/3} = x - \frac{3}{4}x^{4/3}$.
Вычислим определённый интеграл:
$S = \left[ x - \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_0^1 = (1 - \frac{3}{4}(1^{4/3})) - (0 - \frac{3}{4}(0^{4/3})) = 1 - \frac{3}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в)

Фигура ограничена линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 1$, $x = 3$ и $y = \frac{1}{x^2}$.
Верхней границей фигуры является функция $y = \frac{1}{x^2}$, а нижней — $y = 0$. Пределы интегрирования по оси $x$ заданы явно: от $1$ до $3$.
$S = \int_1^3 (\frac{1}{x^2} - 0) \,dx = \int_1^3 x^{-2} \,dx$.
Найдём первообразную для $x^{-2}$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Вычислим определённый интеграл:
$S = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^3 = (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

г)

Фигура ограничена линиями $y = 2$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt{x}$.
Найдём точку пересечения кривой $y = \sqrt{x}$ и прямой $y=2$: $2 = \sqrt{x} \Rightarrow x = 2^2 = 4$.
Фигура ограничена сверху прямой $y = 2$, снизу — кривой $y = \sqrt{x}$. Пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $4$.
$S = \int_0^4 (2 - \sqrt{x}) \,dx = \int_0^4 (2 - x^{1/2}) \,dx$.
Найдём первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = 2x - \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 2x - \frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x - \frac{2}{3}x^{3/2}$.
Вычислим определённый интеграл:
$S = \left[ 2x - \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^4 = (2 \cdot 4 - \frac{2}{3}(4^{3/2})) - (2 \cdot 0 - \frac{2}{3}(0^{3/2})) = (8 - \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3) - 0 = 8 - \frac{2}{3}(2^3) = 8 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24-16}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.