Номер 21.59, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.59, страница 143.

21.59. a) $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$, $x = 3$;

б) $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$, $x = 5$;

в) $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 4$;

г) $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$, $x = e$.

а) Фигура ограничена графиками функций $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$ и прямыми $x = 2$, $x = 3$.
Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$.
На отрезке $[2, 3]$ сравним значения функций $y = e^x$ и $y = \frac{1}{x}$. При $x \ge 2$, $e^x$ является возрастающей функцией, и $e^x \ge e^2 \approx 7.39$. Функция $y = \frac{1}{x}$ является убывающей, и $\frac{1}{x} \le \frac{1}{2}$. Таким образом, на всем отрезке $[2, 3]$ выполняется неравенство $e^x > \frac{1}{x}$.
Следовательно, искомая площадь вычисляется по интегралу:
$S = \int_{2}^{3} \left(e^x - \frac{1}{x}\right) dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = e^x - \ln|x|$. Так как на отрезке $[2, 3]$ $x > 0$, то $|x|=x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left. (e^x - \ln x) \right|_{2}^{3} = (e^3 - \ln 3) - (e^2 - \ln 2) = e^3 - e^2 - \ln 3 + \ln 2$.
Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, получаем:
$S = e^3 - e^2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)$.

Ответ: $e^3 - e^2 + \ln\frac{2}{3}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$ и $x = 5$.
Найдем точку пересечения графиков $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1$, чтобы определить пределы интегрирования.
$\frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$.
Таким образом, фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$, $x = 1$ и $x = 5$. Интегрирование будет производиться по отрезку $[1, 5]$.
На этом отрезке $x \ge 1$, следовательно $\frac{1}{x} \le 1$. Значит, график функции $y=1$ лежит выше графика функции $y=\frac{1}{x}$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{1}^{5} \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx$
Найдем первообразную: $F(x) = x - \ln|x|$. На отрезке $[1, 5]$ $x > 0$, поэтому $|x|=x$.
Вычислим интеграл:
$S = \left. (x - \ln x) \right|_{1}^{5} = (5 - \ln 5) - (1 - \ln 1)$
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$S = 5 - \ln 5 - 1 = 4 - \ln 5$.

Ответ: $4 - \ln 5$.

в) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$ и $x = 4$.
Найдем точку пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.
$\sqrt{x} = \frac{1}{x} \implies x \sqrt{x} = 1 \implies x^{3/2} = 1 \implies x = 1$.
Область интегрирования — отрезок $[1, 4]$.
На этом отрезке сравним функции. При $x > 1$, $\sqrt{x} > 1$ и $\frac{1}{x} < 1$, следовательно $\sqrt{x} > \frac{1}{x}$.
Площадь фигуры вычисляется по интегралу:
$S = \int_{1}^{4} \left(\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right) dx = \int_{1}^{4} \left(x^{1/2} - \frac{1}{x}\right) dx$
Первообразная функции: $F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} - \ln|x| = \frac{2}{3}x^{3/2} - \ln x$ (так как $x>0$).
Вычислим интеграл:
$S = \left. \left(\frac{2}{3}x^{3/2} - \ln x\right) \right|_{1}^{4} = \left(\frac{2}{3}(4)^{3/2} - \ln 4\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - \ln 1\right)$
Так как $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ и $\ln 1 = 0$:
$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 8 - \ln 4\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 1 - 0\right) = \frac{16}{3} - \ln 4 - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} - \ln 4$.

Ответ: $\frac{14}{3} - \ln 4$.

г) Фигура ограничена линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$ и $x = e$.
Найдем точку пересечения графиков $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -1$.
$-\frac{1}{x} = -1 \implies x = 1$.
Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[1, e]$.
На отрезке $[1, e]$ сравним функции. Так как $1 \le x \le e$, то $1 \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{e}$. Умножая на $-1$, получаем $-1 \le -\frac{1}{x} \le -\frac{1}{e}$. Следовательно, на данном отрезке $-\frac{1}{x} \ge -1$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x} - (-1)\right) dx = \int_{1}^{e} \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx$
Первообразная: $F(x) = x - \ln|x| = x - \ln x$ (так как $x>0$).
Вычислим интеграл:
$S = \left. (x - \ln x) \right|_{1}^{e} = (e - \ln e) - (1 - \ln 1)$
Так как $\ln e = 1$ и $\ln 1 = 0$:
$S = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$.

Ответ: $e - 2$.