Номер 21.61, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.61, страница 144.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

21.61. a) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 2^x - 1$, $x = 2$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 2^{x-1}$, $x = 4$.

а)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 2^x - 1$ и $x = 2$, первым шагом является нахождение точек пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 2^x - 1$.

Приравняем выражения для $y$:

$\frac{1}{x^2} = 2^x - 1$

Легко заметить, что $x=1$ является решением этого уравнения, так как:

$\frac{1}{1^2} = 1$ и $2^1 - 1 = 1$.

Таким образом, область интегрирования определяется абсциссой точки пересечения $x=1$ и заданной вертикальной линией $x=2$. Интервал интегрирования: $[1, 2]$.

Далее, необходимо определить, какая из функций принимает большие значения на этом интервале. Сравним значения функций в произвольной точке интервала, например, при $x=1.5$:

$y(1.5) = 2^{1.5} - 1 = \sqrt{2^3} - 1 = \sqrt{8} - 1 \approx 2.828 - 1 = 1.828$

$y(1.5) = \frac{1}{1.5^2} = \frac{1}{2.25} \approx 0.444$

Поскольку на интервале $[1, 2]$ выполняется неравенство $2^x - 1 \ge \frac{1}{x^2}$, площадь фигуры $S$ находится как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_1^2 \left( (2^x - 1) - \frac{1}{x^2} \right) dx$

Вычисляем интеграл, находя первообразную для подынтегральной функции:

$\int \left( 2^x - 1 - x^{-2} \right) dx = \frac{2^x}{\ln 2} - x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{2^x}{\ln 2} - x + \frac{1}{x} + C$

Теперь применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( \frac{2^x}{\ln 2} - x + \frac{1}{x} \right) \right|_1^2 = \left( \frac{2^2}{\ln 2} - 2 + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{2^1}{\ln 2} - 1 + \frac{1}{1} \right)$

$S = \left( \frac{4}{\ln 2} - \frac{3}{2} \right) - \left( \frac{2}{\ln 2} \right) = \frac{4}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{2}$

Ответ: $S = \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{2}$.

б)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 2^{x-1}$ и $x = 4$, сначала найдем точку пересечения кривых $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и $y = 2^{x-1}$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 2^{x-1}$

Подбором находим, что $x=1$ является корнем уравнения:

$\frac{1}{\sqrt{1}} = 1$ и $2^{1-1} = 2^0 = 1$.

Фигура ограничена слева точкой пересечения $x=1$ и справа прямой $x=4$. Таким образом, интервал интегрирования: $[1, 4]$.

Определим, какая из функций больше на этом интервале. Возьмем пробную точку, например $x=2$:

$y(2) = 2^{2-1} = 2^1 = 2$

$y(2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

На интервале $[1, 4]$ выполняется неравенство $2^{x-1} \ge \frac{1}{\sqrt{x}}$. Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности функций:

$S = \int_1^4 \left( 2^{x-1} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx$

Вычисляем интеграл, находя первообразную:

$\int \left( 2^{x-1} - x^{-1/2} \right) dx = \frac{2^{x-1}}{\ln 2} - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2^{x-1}}{\ln 2} - 2\sqrt{x} + C$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( \frac{2^{x-1}}{\ln 2} - 2\sqrt{x} \right) \right|_1^4 = \left( \frac{2^{4-1}}{\ln 2} - 2\sqrt{4} \right) - \left( \frac{2^{1-1}}{\ln 2} - 2\sqrt{1} \right)$

$S = \left( \frac{2^3}{\ln 2} - 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{2^0}{\ln 2} - 2 \cdot 1 \right) = \left( \frac{8}{\ln 2} - 4 \right) - \left( \frac{1}{\ln 2} - 2 \right)$

$S = \frac{8}{\ln 2} - 4 - \frac{1}{\ln 2} + 2 = \frac{7}{\ln 2} - 2$

Ответ: $S = \frac{7}{\ln 2} - 2$.