Номер 21.62, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.62, страница 144.

21.62. a) $y = e^x$, $y = \frac{e}{x}$, $x = e$, $x = 0$, $y = 0$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x^2 + 1$, $x = 2$.

а)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной линиями $y = e^x$, $y = \frac{e}{x}$, $x = e$, $x = 0$ и $y = 0$. Для этого необходимо определить границы области интегрирования и саму подынтегральную функцию.

1. Найдем точку пересечения графиков функций $y = e^x$ и $y = \frac{e}{x}$, чтобы понять, как они соотносятся друг с другом.

$e^x = \frac{e}{x}$

$x e^x = e$

Подбором находим корень $x=1$, так как $1 \cdot e^1 = e$. Функция $f(x) = xe^x$ является строго возрастающей при $x>0$ (ее производная $f'(x) = e^x + xe^x = e^x(1+x) > 0$ при $x>0$), поэтому данное решение является единственным. Точка пересечения — $(1, e)$.

2. Фигура ограничена вертикальными прямыми $x=0$ и $x=e$, а снизу — осью абсцисс $y=0$. Верхняя граница фигуры формируется "нижней огибающей" двух кривых $y=e^x$ и $y=\frac{e}{x}$, так как иначе область не была бы ограничена всеми заданными линиями одновременно.

- На интервале $[0, 1]$: $e^x \le \frac{e}{x}$. Например, при $x=0.5$, $e^{0.5} \approx 1.65$, а $\frac{e}{0.5} = 2e \approx 5.44$. Таким образом, нижняя граница из двух кривых — это $y=e^x$.

- На интервале $[1, e]$: $\frac{e}{x} \le e^x$. Например, при $x=2$, $\frac{e}{2} \approx 1.36$, а $e^2 \approx 7.39$. Нижняя граница из двух кривых — это $y=\frac{e}{x}$.

3. Площадь искомой фигуры можно вычислить как сумму площадей двух криволинейных трапеций. Область интегрирования разбивается на два участка в точке $x=1$.

$S = \int_0^1 e^x dx + \int_1^e \frac{e}{x} dx$

4. Вычисляем каждый из интегралов.

Площадь первой части:

$S_1 = \int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.

Площадь второй части:

$S_2 = \int_1^e \frac{e}{x} dx = e \int_1^e \frac{1}{x} dx = e [\ln|x|]_1^e = e(\ln(e) - \ln(1)) = e(1 - 0) = e$.

5. Общая площадь равна сумме площадей двух частей:

$S = S_1 + S_2 = (e - 1) + e = 2e - 1$.

Ответ: $2e - 1$.

б)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной линиями $y = (\frac{1}{3})^x$, $y = x^2 + 1$ и $x = 2$.

1. Найдем точку пересечения графиков функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x^2 + 1$.

$(\frac{1}{3})^x = x^2 + 1$

При $x=0$ левая часть равна $(\frac{1}{3})^0 = 1$, а правая $0^2+1=1$. Значит, графики пересекаются в точке $(0, 1)$. Это задает левую границу области интегрирования, $x=0$. Правая граница задана условием, $x=2$.

2. Определим, какая из функций задает верхнюю, а какая — нижнюю границу фигуры на отрезке $[0, 2]$.

Рассмотрим разность функций $f(x) = (x^2 + 1) - (\frac{1}{3})^x$. На интервале $(0, 2]$ функция $x^2+1$ возрастает, а функция $(\frac{1}{3})^x$ убывает. Поскольку в точке $x=0$ функции равны, то при $x>0$ будет выполняться неравенство $x^2+1 > (\frac{1}{3})^x$. Таким образом, кривая $y=x^2+1$ является верхней границей, а $y=(\frac{1}{3})^x$ — нижней.

3. Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=2$.

$S = \int_0^2 \left( (x^2 + 1) - \left(\frac{1}{3}\right)^x \right) dx$

4. Вычислим интеграл. Первообразная для $(\frac{1}{3})^x = 3^{-x}$ равна $\frac{3^{-x}}{-\ln 3}$.

$S = \int_0^2 (x^2 + 1 - 3^{-x}) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x - \frac{3^{-x}}{-\ln 3} \right]_0^2 = \left[ \frac{x^3}{3} + x + \frac{3^{-x}}{\ln 3} \right]_0^2$

5. Подставим пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{2^3}{3} + 2 + \frac{3^{-2}}{\ln 3} \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 + \frac{3^{-0}}{\ln 3} \right)$

$S = \left( \frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{9 \ln 3} \right) - \left( 0 + 0 + \frac{1}{\ln 3} \right)$

$S = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} + \frac{1}{9 \ln 3} - \frac{9}{9 \ln 3}$

$S = \frac{14}{3} - \frac{8}{9 \ln 3}$

Ответ: $\frac{14}{3} - \frac{8}{9 \ln 3}$.