Номер 21.69, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.69, страница 145.

21.69. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 2x - 5$ и графиком её первообразной, проходящей через точку $M(1; -3)$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 4x + 1$ и графиком её первообразной, проходящей через точку $M(2; 6)$.

а)

1. Найдём общую первообразную для функции $y = 2x - 5$.
$F(x) = \int (2x - 5) dx = 2\frac{x^2}{2} - 5x + C = x^2 - 5x + C$, где $C$ - константа.

2. Найдём конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(1; -3)$. Для этого подставим координаты точки в уравнение первообразной $F(x) = y$.
$-3 = 1^2 - 5(1) + C$
$-3 = 1 - 5 + C$
$-3 = -4 + C$
$C = 1$
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = x^2 - 5x + 1$.

3. Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2x - 5$ и $F(x) = x^2 - 5x + 1$, вычисляется с помощью определённого интеграла. Сначала найдём пределы интегрирования, которыми являются абсциссы точек пересечения графиков.
$2x - 5 = x^2 - 5x + 1$
$x^2 - 7x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$. Это и будут наши пределы интегрирования.

4. Определим, какая из функций больше на интервале $(1, 6)$. Возьмём тестовую точку, например, $x = 2$.
$y(2) = 2(2) - 5 = -1$
$F(2) = 2^2 - 5(2) + 1 = 4 - 10 + 1 = -5$
Так как $-1 > -5$, на интервале $(1, 6)$ график функции $y = 2x - 5$ лежит выше графика $F(x) = x^2 - 5x + 1$.

5. Вычислим площадь $S$ как интеграл разности функций.
$S = \int_{1}^{6} ((2x - 5) - (x^2 - 5x + 1)) dx = \int_{1}^{6} (2x - 5 - x^2 + 5x - 1) dx = \int_{1}^{6} (-x^2 + 7x - 6) dx$
$S = [-\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 6x]_{1}^{6} = (-\frac{6^3}{3} + \frac{7 \cdot 6^2}{2} - 6 \cdot 6) - (-\frac{1^3}{3} + \frac{7 \cdot 1^2}{2} - 6 \cdot 1)$
$S = (-\frac{216}{3} + \frac{7 \cdot 36}{2} - 36) - (-\frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 6) = (-72 + 126 - 36) - (\frac{-2 + 21 - 36}{6})$
$S = 18 - (-\frac{17}{6}) = 18 + \frac{17}{6} = \frac{108}{6} + \frac{17}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

б)

1. Найдём общую первообразную для функции $y = 4x + 1$.
$F(x) = \int (4x + 1) dx = 4\frac{x^2}{2} + x + C = 2x^2 + x + C$, где $C$ - константа.

2. Найдём конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(2; 6)$.
$6 = 2(2^2) + 2 + C$
$6 = 2 \cdot 4 + 2 + C$
$6 = 8 + 2 + C$
$6 = 10 + C$
$C = -4$
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 2x^2 + x - 4$.

3. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 4x + 1$ и $F(x) = 2x^2 + x - 4$.
$4x + 1 = 2x^2 + x - 4$
$2x^2 - 3x - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
Пределы интегрирования: от $-1$ до $\frac{5}{2}$.

4. Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, \frac{5}{2})$. Возьмём тестовую точку $x = 0$.
$y(0) = 4(0) + 1 = 1$
$F(0) = 2(0)^2 + 0 - 4 = -4$
Так как $1 > -4$, на интервале $(-1, \frac{5}{2})$ график функции $y = 4x + 1$ лежит выше графика $F(x) = 2x^2 + x - 4$.

5. Вычислим площадь $S$ как интеграл разности функций.
$S = \int_{-1}^{\frac{5}{2}} ((4x + 1) - (2x^2 + x - 4)) dx = \int_{-1}^{\frac{5}{2}} (4x + 1 - 2x^2 - x + 4) dx = \int_{-1}^{\frac{5}{2}} (-2x^2 + 3x + 5) dx$
$S = [-\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x]_{-1}^{\frac{5}{2}} = (-\frac{2}{3}(\frac{5}{2})^3 + \frac{3}{2}(\frac{5}{2})^2 + 5(\frac{5}{2})) - (-\frac{2(-1)^3}{3} + \frac{3(-1)^2}{2} + 5(-1))$
$S = (-\frac{2}{3}\frac{125}{8} + \frac{3}{2}\frac{25}{4} + \frac{25}{2}) - (\frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 5) = (-\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + \frac{25}{2}) - (\frac{4 + 9 - 30}{6})$
$S = (\frac{-250 + 225 + 300}{24}) - (\frac{-17}{6}) = \frac{275}{24} + \frac{17}{6} = \frac{275}{24} + \frac{68}{24} = \frac{343}{24}$

Ответ: $\frac{343}{24}$