Номер 21.74, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.74, страница 146.

21.74. a) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 60°.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -\frac{x^2}{2\sqrt{3}}$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 120°.

a)

Дан график функции $y = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$. Это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Касательные проведены из точки на оси $Oy$. В силу симметрии, точка пересечения касательных лежит на оси симметрии параболы, то есть на оси $Oy$. Точки касания также будут симметричны относительно оси $Oy$. Обозначим их как $A(-x_0, y_0)$ и $B(x_0, y_0)$, где $x_0 > 0$.

Угол между касательными равен $60^\circ$. Так как ось $Oy$ является осью симметрии для касательных, она же является и биссектрисой угла между ними. Следовательно, каждая касательная образует с осью $Oy$ угол в $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Найдем угловой коэффициент $k$ касательной, проведенной в точке $B(x_0, y_0)$ с абсциссой $x_0 > 0$. Эта касательная находится в первой и четвертой четвертях. Угол, который она образует с положительным направлением оси $Ox$, равен $\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Следовательно, ее угловой коэффициент равен: $k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную: $y' = \left(\frac{x^2\sqrt{3}}{2}\right)' = \frac{2x\sqrt{3}}{2} = x\sqrt{3}$.

Приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$: $x_0\sqrt{3} = \sqrt{3} \implies x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, точки касания: $A(-1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $B(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Уравнение касательной в точке $B(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$: $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}(x - 1)$, $y = \sqrt{3}x - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y = \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена сверху параболой $y = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$, а снизу — двумя касательными. Найдем площадь этой фигуры как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $-1$ до $1$. В силу симметрии, можно вычислить площадь для $x \in [0, 1]$ и удвоить результат.

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( y_{\text{парабола}} - y_{\text{касательная}} \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{x^2\sqrt{3}}{2} - \left(\sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) dx$.

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 - \sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) dx = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx$.

$S = \sqrt{3} \int_{0}^{1} (x-1)^2 dx = \sqrt{3} \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{0}^{1} = \sqrt{3} \left( \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(0-1)^3}{3} \right) = \sqrt{3} \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б)

Дан график функции $y = -\frac{x^2}{2\sqrt{3}}$. Это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. Функция также является четной и ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Как и в предыдущем пункте, касательные пересекаются на оси $Oy$, а точки касания симметричны: $A(-x_0, y_0)$ и $B(x_0, y_0)$, где $x_0 > 0$.

Угол между касательными равен $120^\circ$. Ось $Oy$ является биссектрисой, поэтому каждая касательная образует с осью $Oy$ угол в $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Рассмотрим касательную в точке $B(x_0, y_0)$ с абсциссой $x_0 > 0$. Парабола находится ниже оси $Ox$, поэтому касательная будет иметь отрицательный наклон. Она образует угол $60^\circ$ с отрицательной частью оси $Oy$. Следовательно, угол между касательной и отрицательным направлением оси $Ox$ равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$ равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Угловой коэффициент $k$: $k = \tan(150^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Найдем производную функции: $y' = \left(-\frac{x^2}{2\sqrt{3}}\right)' = -\frac{2x}{2\sqrt{3}} = -\frac{x}{\sqrt{3}}$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту для нахождения $x_0$: $-\frac{x_0}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания: $y_0 = -\frac{1^2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Точки касания: $A(-1, -\frac{1}{2\sqrt{3}})$ и $B(1, -\frac{1}{2\sqrt{3}})$.

Уравнение касательной в точке $B(1, -\frac{1}{2\sqrt{3}})$: $y - \left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1)$, $y + \frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}$, $y = -\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена сверху двумя касательными, а снизу — параболой $y = -\frac{x^2}{2\sqrt{3}}$. Пределы интегрирования по $x$ от $-1$ до $1$. Используем симметрию и удвоим интеграл от $0$ до $1$:

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( y_{\text{касательная}} - y_{\text{парабола}} \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \left(-\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{3}}\right) - \left(-\frac{x^2}{2\sqrt{3}}\right) \right) dx$.

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{x^2}{2\sqrt{3}} - \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{3}} \right) dx = \frac{2}{2\sqrt{3}} \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx$.

$S = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{1} (x-1)^2 dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(0-1)^3}{3} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{3\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $S = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{9}$.