Номер 21.73, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.73, страница 146.

21.73. a) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 90°.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 0,5(x^2 + 5)$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 90°.

a)

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $y(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$ в произвольной точке $x_0$.
Производная функции: $y'(x) = -x$.
Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной: $k = y'(x_0) = -x_0$.
Уравнение касательной имеет вид $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.
$y_{кас} = (3 - \frac{1}{2}x_0^2) - x_0(x - x_0) = 3 - \frac{1}{2}x_0^2 - x_0x + x_0^2 = -x_0x + \frac{1}{2}x_0^2 + 3$.

2. Касательные проводятся из точки на оси $y$. Обозначим эту точку как $(0, y_p)$. Так как касательная проходит через эту точку, её координаты удовлетворяют уравнению:
$y_p = -x_0(0) + \frac{1}{2}x_0^2 + 3 \Rightarrow y_p = \frac{1}{2}x_0^2 + 3$.

3. По условию, угол между двумя касательными равен 90°. Это означает, что их угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ удовлетворяют условию $k_1 \cdot k_2 = -1$.
Парабола $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$ симметрична относительно оси $y$. Следовательно, точки касания также будут симметричны: $x_1$ и $x_2 = -x_1$.
Угловые коэффициенты: $k_1 = y'(x_1) = -x_1$ и $k_2 = y'(-x_1) = -(-x_1) = x_1$.
Подставляем в условие перпендикулярности: $(-x_1)(x_1) = -1 \Rightarrow -x_1^2 = -1 \Rightarrow x_1^2 = 1$.
Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

4. Найдём уравнения касательных и точку их пересечения.
Точка пересечения на оси $y$: $y_p = \frac{1}{2}(1)^2 + 3 = 3.5$. Точка $(0, 3.5)$.
Точки касания:
- при $x=1$: $y = 3 - \frac{1}{2}(1)^2 = 2.5$. Точка $(1, 2.5)$. Угловой коэффициент $k = -1$.
- при $x=-1$: $y = 3 - \frac{1}{2}(-1)^2 = 2.5$. Точка $(-1, 2.5)$. Угловой коэффициент $k = 1$.
Уравнения касательных:
- $y = -x + 3.5$
- $y = x + 3.5$

5. Вычислим площадь фигуры. Фигура ограничена снизу параболой $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$ и сверху двумя касательными. Площадь можно найти как разность интегралов.
$S = \int_{-1}^{1} (y_{кас} - y_{парабола}) dx$.
В силу симметрии фигуры относительно оси $y$, можно вычислить площадь для $x \in [0, 1]$ и умножить на 2. На этом интервале верхняя граница — касательная $y = -x + 3.5$.
$S = 2 \int_{0}^{1} \left( (-x + 3.5) - \left(3 - \frac{1}{2}x^2\right) \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \right) dx$.
$S = 2 \left[ \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

б)

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $y(x) = 0.5(x^2 + 5) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}$ в произвольной точке $x_0$.
Производная функции: $y'(x) = x$.
Угловой коэффициент касательной: $k = y'(x_0) = x_0$.
Уравнение касательной: $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.
$y_{кас} = (\frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2}) + x_0(x - x_0) = \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2} + x_0x - x_0^2 = x_0x - \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2}$.

2. Касательные проводятся из точки $(0, y_p)$ на оси $y$. Подставим её координаты в уравнение касательной:
$y_p = x_0(0) - \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2} \Rightarrow y_p = -\frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2}$.

3. Используем условие перпендикулярности касательных: $k_1 \cdot k_2 = -1$.
Парабола $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}$ симметрична относительно оси $y$, поэтому точки касания симметричны: $x_1$ и $x_2 = -x_1$.
Угловые коэффициенты: $k_1 = y'(x_1) = x_1$ и $k_2 = y'(-x_1) = -x_1$.
Подставляем в условие: $(x_1)(-x_1) = -1 \Rightarrow -x_1^2 = -1 \Rightarrow x_1^2 = 1$.
Абсциссы точек касания: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

4. Найдём уравнения касательных и точку их пересечения.
Точка пересечения на оси $y$: $y_p = -\frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2} = 2$. Точка $(0, 2)$.
Точки касания:
- при $x=1$: $y = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2} = 3$. Точка $(1, 3)$. Угловой коэффициент $k = 1$.
- при $x=-1$: $y = \frac{1}{2}(-1)^2 + \frac{5}{2} = 3$. Точка $(-1, 3)$. Угловой коэффициент $k = -1$.
Уравнения касательных:
- $y = x + 2$
- $y = -x + 2$

5. Вычислим площадь фигуры. Фигура ограничена сверху параболой $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}$ и снизу двумя касательными.
$S = \int_{-1}^{1} (y_{парабола} - y_{кас}) dx$.
В силу симметрии, $S = 2 \int_{0}^{1} (y_{парабола} - y_{кас}) dx$. На интервале $[0, 1]$ нижняя граница — касательная $y = x+2$.
$S = 2 \int_{0}^{1} \left( \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}\right) - (x + 2) \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \right) dx$.
$S = 2 \left[ \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$