Номер 22.1, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.1, страница 148.

22.1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $x^2 \le 9$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

a) $x^2 \le 10$;

б) $2x - 3 \le 17$;

в) $x^2 \ge 10$;

г) $x^3 + 2x \ge 0$.

Данная задача решается с помощью геометрического определения вероятности. Пространством элементарных исходов является множество решений неравенства $x^2 \le 9$. Найдем это множество.

Неравенство $x^2 \le 9$ равносильно $|x| \le 3$, что задает отрезок $[-3, 3]$.

Таким образом, множество всех возможных исходов — это отрезок $M = [-3, 3]$. Его длина (мера) составляет $L(M) = 3 - (-3) = 6$.

Вероятность того, что случайно выбранное решение из отрезка $M$ также является решением другого неравенства, равна отношению длины пересечения множеств решений к длине отрезка $M$.

а) $x^2 \le 10$

1. Найдем множество решений неравенства $x^2 \le 10$.
Это неравенство равносильно $|x| \le \sqrt{10}$, то есть $-\sqrt{10} \le x \le \sqrt{10}$. Множество решений $A_a = [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

2. Найдем пересечение множества решений $A_a$ с исходным множеством $M = [-3, 3]$.
Так как $9 < 10$, то $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, то есть $3 < \sqrt{10}$. Следовательно, отрезок $M = [-3, 3]$ полностью содержится в отрезке $A_a = [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.
Пересечение множеств: $B_a = M \cap A_a = [-3, 3]$.

3. Длина множества благоприятных исходов $L(B_a) = 3 - (-3) = 6$.

4. Вероятность равна отношению длин:
$P(a) = \frac{L(B_a)}{L(M)} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: 1

б) $2x - 3 \le 17$

1. Решим неравенство $2x - 3 \le 17$:
$2x \le 17 + 3$
$2x \le 20$
$x \le 10$
Множество решений $A_b = (-\infty, 10]$.

2. Найдем пересечение $A_b$ с $M = [-3, 3]$:
$B_b = [-3, 3] \cap (-\infty, 10] = [-3, 3]$, так как все точки отрезка $[-3, 3]$ меньше 10.

3. Длина множества благоприятных исходов $L(B_b) = 3 - (-3) = 6$.

4. Вероятность равна:
$P(b) = \frac{L(B_b)}{L(M)} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: 1

в) $x^2 \ge 10$

1. Найдем множество решений неравенства $x^2 \ge 10$.
Это неравенство равносильно $|x| \ge \sqrt{10}$, то есть $x \le -\sqrt{10}$ или $x \ge \sqrt{10}$.
Множество решений $A_v = (-\infty, -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}, \infty)$.

2. Найдем пересечение $A_v$ с $M = [-3, 3]$.
Как мы установили в пункте а), $\sqrt{10} > 3$, следовательно $-\sqrt{10} < -3$.
Отрезок $[-3, 3]$ не имеет общих точек с множеством $A_v$.
Пересечение $B_v = M \cap A_v = \emptyset$ (пустое множество).

3. Длина пустого множества равна 0, то есть $L(B_v) = 0$.

4. Вероятность равна:
$P(v) = \frac{L(B_v)}{L(M)} = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: 0

г) $x^3 + 2x \ge 0$

1. Решим неравенство $x^3 + 2x \ge 0$:
$x(x^2 + 2) \ge 0$
Выражение в скобках $x^2 + 2$ всегда положительно для любого действительного $x$ (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 2 \ge 2$).
Поэтому знак всего выражения зависит только от знака $x$. Неравенство равносильно $x \ge 0$.
Множество решений $A_g = [0, \infty)$.

2. Найдем пересечение $A_g$ с $M = [-3, 3]$:
$B_g = [-3, 3] \cap [0, \infty) = [0, 3]$.

3. Длина множества благоприятных исходов $L(B_g) = 3 - 0 = 3$.

4. Вероятность равна:
$P(g) = \frac{L(B_g)}{L(M)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$