Номер 22.8, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.8, страница 149.

22.8. Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите вероятность того, что она:

а) лежит внутри треугольника;

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;

в) лежит вне треугольника;

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Для решения задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятствующей области к общей площади, в которой может оказаться точка. В данном случае, общая площадь — это площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника.

Сначала найдем все необходимые для решения величины.

Дан прямоугольный треугольник с катетами $a=6$ и $b=8$.

1. Гипотенуза $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

2. Площадь треугольника $S_{\triangle}$: $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

3. Радиус $R$ описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Площадь описанного круга, которая является общей площадью для расчета вероятностей, равна $S_{опис} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$.

4. Радиус $r$ вписанной окружности для прямоугольного треугольника находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = 2$. Площадь вписанного круга равна $S_{впис} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Теперь, имея все площади, можно вычислить вероятности для каждого случая.

а) лежит внутри треугольника;
Вероятность этого события равна отношению площади треугольника (благоприятствующая область) к площади описанного круга (общая область).
$P_a = \frac{S_{\triangle}}{S_{опис}} = \frac{24}{25\pi}$.
Ответ: $\frac{24}{25\pi}$

б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;
Вероятность этого события равна отношению площади вписанного круга к площади описанного круга.
$P_б = \frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{4\pi}{25\pi} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$

в) лежит вне треугольника;
Это событие означает, что точка находится внутри описанной окружности, но за пределами треугольника. Площадь этой области равна разности площадей описанного круга и треугольника: $S_{опис} - S_{\triangle} = 25\pi - 24$.
Вероятность равна $P_в = \frac{S_{опис} - S_{\triangle}}{S_{опис}} = \frac{25\pi - 24}{25\pi} = 1 - \frac{24}{25\pi}$.
Ответ: $1 - \frac{24}{25\pi}$

г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.
Благоприятствующая область — это площадь треугольника за вычетом площади вписанного в него круга: $S_{\triangle} - S_{впис} = 24 - 4\pi$.
Вероятность равна $P_г = \frac{S_{\triangle} - S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{24 - 4\pi}{25\pi}$.
Ответ: $\frac{24 - 4\pi}{25\pi}$