Номер 22.11, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.11, страница 150.

22.11. Коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении прямой $y = ax + b$ случайным образом выбираются из множества $\{-5, -4, ..., -1, 0, 1, ..., 4, 5\}$. Найдите вероятность того, что эта прямая:

а) пересекает ось ординат; б) пересекает только две координатные четверти; в) не пересекает ось абсцисс; г) не пересекает вторую координатную четверть.

Указание. Считать, что точки осей координат не принадлежат ни одной четверти.

Коэффициенты $a$ и $b$ для уравнения прямой $y = ax + b$ выбираются из множества $M = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. В этом множестве 11 элементов. Поскольку коэффициенты $a$ и $b$ выбираются независимо, общее число возможных пар $(a, b)$, а следовательно, и различных прямых, равно $N = 11 \times 11 = 121$. Это общее число равновозможных элементарных исходов.

а) пересекает ось ординат;

Уравнение прямой задано в виде $y = ax + b$. Любая прямая, которую можно представить в такой форме, не является вертикальной. Точка пересечения с осью ординат (осью $y$) существует всегда и имеет координаты $(0, b)$. Поскольку для любой из 121 возможной пары $(a, b)$ прямая $y=ax+b$ определена и не является вертикальной, каждая из этих прямых пересекает ось ординат.
Следовательно, число благоприятных исходов $m$ равно общему числу исходов $N$.
$m = 121$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{N} = \frac{121}{121} = 1$.

Ответ: $1$

б) пересекает только две координатные четверти;

Согласно указанию, точки на осях координат не принадлежат ни одной четверти. Прямая пересекает ровно две координатные четверти только в двух случаях:

1. Прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, но не совпадает ни с одной из осей. Это условие выполняется, когда $b = 0$ и $a \neq 0$.
   • Если $a > 0$, прямая $y=ax$ проходит через I и III четверти.
   • Если $a < 0$, прямая $y=ax$ проходит через II и IV четверти.
   Количество ненулевых значений для $a$ в множестве $M$ равно 10 (это числа от -5 до -1 и от 1 до 5). Значение $b$ должно быть равно 0 (1 вариант). Число таких пар $(a, b)$ равно $10 \times 1 = 10$.
2. Прямая параллельна одной из осей координат, но не совпадает с ней.
   • Прямая параллельна оси абсцисс ($Ox$): это происходит, когда $a=0$ и $b \neq 0$. Уравнение прямой $y=b$. При $b>0$ прямая пересекает I и II четверти. При $b<0$ прямая пересекает III и IV четверти. Значение $a$ равно 0 (1 вариант). Количество ненулевых значений для $b$ равно 10. Число таких пар $(a, b)$ равно $1 \times 10 = 10$.
   • Прямая, параллельная оси ординат (вертикальная), не может быть задана уравнением вида $y=ax+b$, поэтому этот случай невозможен.

Случай $a=0$ и $b=0$ дает прямую $y=0$ (ось абсцисс), которая, по условию, не пересекает ни одной четверти.
Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов из двух рассмотренных случаев: $m = 10 + 10 = 20$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{20}{121}$.

Ответ: $\frac{20}{121}$

в) не пересекает ось абсцисс;

Прямая $y = ax + b$ не пересекает ось абсцисс ($Ox$) тогда и только тогда, когда она является горизонтальной прямой, не совпадающей с самой осью $Ox$.
Условие горизонтальности прямой — равенство нулю углового коэффициента, то есть $a=0$. Уравнение принимает вид $y=b$.
Чтобы эта прямая не пересекала ось абсцисс ($y=0$), необходимо, чтобы $b \neq 0$.
Таким образом, благоприятными являются пары, в которых $a=0$ и $b \neq 0$.

• Количество вариантов для $a$: 1 (только $a=0$).
• Количество вариантов для $b$: 10 (любое значение из множества $M$, кроме 0).

Число благоприятных исходов $m = 1 \times 10 = 10$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{10}{121}$.

Ответ: $\frac{10}{121}$

г) не пересекает вторую координатную четверть.

Вторая координатная четверть (II) определяется условиями $x < 0$ и $y > 0$. Прямая $y = ax + b$ не пересекает эту четверть, если для любого $x < 0$ значение $y$ не является положительным, то есть $y \le 0$.
Рассмотрим условия на коэффициенты $a$ и $b$.

1. Проанализируем значение $y$ при $x=0$. $y(0) = b$. Если $b > 0$, то точка $(0, b)$ находится на положительной части оси ординат. Любая невертикальная прямая, проходящая через эту точку, обязательно попадет во вторую четверть (если $a \le 0$) или будет приходить из нее (если $a > 0$). Следовательно, необходимо, чтобы $b \le 0$.
2. Теперь рассмотрим наклон прямой при условии $b \le 0$.
   • Если $a < 0$, прямая является убывающей. Она проходит через точку $(0, b)$, где $b \le 0$. Для любого $x < 0$ имеем $ax > 0$, поэтому $y = ax+b$ может стать положительным. Например, для прямой $y=-x-1$, в точке $x=-2$ получаем $y=-(-2)-1=1$, т.е. точка $(-2, 1)$ лежит во второй четверти. Значит, $a$ не может быть отрицательным.
   • Если $a \ge 0$ и $b \le 0$. Возьмем любое $x < 0$. Так как $a \ge 0$, то $ax \le 0$. Тогда $y = ax + b \le 0 + b$. А так как $b \le 0$, получаем $y \le 0$. Это означает, что для любого $x < 0$ соответствующее значение $y$ будет неположительным, и прямая не попадет во вторую четверть.

Таким образом, благоприятными являются все пары $(a, b)$, для которых $a \ge 0$ и $b \le 0$.

• Возможные значения для $a$: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ — всего 6 значений.
• Возможные значения для $b$: $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}$ — всего 6 значений.

Число благоприятных исходов $m = 6 \times 6 = 36$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{36}{121}$.

Ответ: $\frac{36}{121}$