Номер 22.6, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.6, страница 149.

О22.6. В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 2$, $BC = 5$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

а) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$;

б) ближе к вершине $A$, чем к вершине $C$;

в) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $BC$;

г) ближе к вершине $A$, чем к точке пересечения диагоналей.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной области к общей площади пространства элементарных исходов. В данном случае, пространством является прямоугольник $ABCD$.

Зададим систему координат, поместив вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$. Так как $AB = 2$ и $BC = 5$, вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты: $A(0, 0)$, $B(2, 0)$, $C(2, 5)$ и $D(0, 5)$. Общая площадь прямоугольника $S_{ABCD}$ равна: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 2 \cdot 5 = 10$. Пусть $M(x, y)$ — случайно выбранная точка внутри прямоугольника, где $0 \le x \le 2$ и $0 \le y \le 5$.

а) ближе к прямой AB, чем к прямой CD;

Прямая $AB$ совпадает с осью Ox, ее уравнение $y=0$. Прямая $CD$ параллельна оси Ox, ее уравнение $y=5$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $AB$ равно $d(M, AB) = y$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $CD$ равно $d(M, CD) = 5-y$ (так как точка $M$ находится между прямыми). Условие, что точка $M$ расположена ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$, записывается в виде неравенства: $d(M, AB) < d(M, CD)$ $y < 5 - y$ $2y < 5$ $y < 2.5$ Множество точек, удовлетворяющих этому условию, — это часть прямоугольника, для которой ордината $y$ меньше $2.5$. Эта область представляет собой прямоугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(2, 2.5)$ и $(0, 2.5)$. Площадь этой благоприятной области $S_a = 2 \cdot 2.5 = 5$. Вероятность $P(a)$ равна отношению площади благоприятной области к площади всего прямоугольника: $P(a) = \frac{S_a}{S_{ABCD}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) ближе к вершине A, чем к вершине C;

Координаты вершин: $A(0, 0)$ и $C(2, 5)$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (в данном случае $A$ и $C$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. В нашем случае это серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. Этот перпендикуляр проходит через центр прямоугольника (середину диагонали $AC$) и, следовательно, делит площадь прямоугольника на две равные части. Область, точки которой ближе к $A$, будет иметь площадь, равную половине площади всего прямоугольника. Площадь благоприятной области $S_б = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$. Вероятность $P(б)$ равна: $P(б) = \frac{S_б}{S_{ABCD}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) ближе к прямой AB, чем к прямой BC;

Прямая $AB$ задается уравнением $y=0$, а прямая $BC$ — уравнением $x=2$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $AB$ равно $d(M, AB) = y$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $BC$ равно $d(M, BC) = 2-x$ (так как $0 \le x \le 2$). Условие "ближе к $AB$, чем к $BC$" записывается как: $y < 2 - x$, что эквивалентно $x + y < 2$. Множество точек, удовлетворяющих этому условию, находится в прямоугольнике ниже прямой $x+y=2$. Эта прямая проходит через вершину $B(2,0)$ и точку $(0,2)$ на стороне $AD$. Благоприятная область — это прямоугольный треугольник с вершинами в точках $A(0,0)$, $B(2,0)$ и $E(0,2)$. Катеты этого треугольника равны $AE=2$ и $AB=2$. Площадь этого треугольника $S_в = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Вероятность $P(в)$ равна: $P(в) = \frac{S_в}{S_{ABCD}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) ближе к вершине A, чем к точке пересечения диагоналей.

Вершина $A$ имеет координаты $(0, 0)$. Точка пересечения диагоналей $O$ является центром прямоугольника. Ее координаты — середина отрезка $AC$: $O(\frac{0+2}{2}, \frac{0+5}{2}) = O(1, 2.5)$. Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка. Условие "ближе к $A$, чем к $O$" означает, что расстояние $d(M, A)$ меньше расстояния $d(M, O)$. $d(M, A) < d(M, O)$. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней: $d^2(M, A) < d^2(M, O)$ $x^2 + y^2 < (x-1)^2 + (y-2.5)^2$ $x^2 + y^2 < x^2 - 2x + 1 + y^2 - 5y + 6.25$ $0 < -2x - 5y + 7.25$ $2x + 5y < 7.25$ Границей благоприятной области является прямая $2x + 5y = 7.25$. Найдем точки ее пересечения со сторонами прямоугольника. При $x=0$: $5y = 7.25 \Rightarrow y = 1.45$. Точка пересечения со стороной $AD$ — $(0, 1.45)$. При $x=2$: $2(2) + 5y = 7.25 \Rightarrow 4 + 5y = 7.25 \Rightarrow 5y = 3.25 \Rightarrow y = 0.65$. Точка пересечения со стороной $BC$ — $(2, 0.65)$. Благоприятная область — это часть прямоугольника, где $2x + 5y < 7.25$. Поскольку для точки $A(0,0)$ неравенство выполняется ($0 < 7.25$), эта область содержит вершину $A$. Область является трапецией с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(2, 0.65)$ и $(0, 1.45)$. Высота трапеции равна $2$, а длины параллельных оснований (на сторонах $AD$ и $BC$) равны $1.45$ и $0.65$. Площадь трапеции $S_г = \frac{1.45 + 0.65}{2} \cdot 2 = 2.1$. Вероятность $P(г)$ равна: $P(г) = \frac{S_г}{S_{ABCD}} = \frac{2.1}{10} = 0.21$.
Ответ: $0.21$