Номер 22.10, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.10, страница 149.

22.10. На оси ординат случайным образом выбирают точку $C(0; y)$, $0 \le y \le 8$, и соединяют её с фиксированной точкой $A(4; 4)$. Какова вероятность того, что угол наклона отрезка $AC$ к положительному направлению оси ординат:

a) тупой;

б) меньше $45^\circ$;

в) острый;

г) больше $60^\circ$?

Для решения задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Точка $C(0; y)$ выбирается на отрезке оси ординат длиной $L = 8 - 0 = 8$. Вероятность события определяется как отношение длины интервала значений $y$, благоприятствующих этому событию, к общей длине $L=8$.

Угол наклона $\alpha$ отрезка $AC$ к положительному направлению оси ординат — это угол между вектором $\vec{CA}$ и вектором, задающим положительное направление оси ординат, $\vec{j} = (0; 1)$.

Координаты вектора $\vec{CA}$ равны $(4-0; 4-y)$, то есть $\vec{CA} = (4; 4-y)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{j}$ можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{j}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{j}|} = \frac{4 \cdot 0 + (4-y) \cdot 1}{\sqrt{4^2 + (4-y)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}}$

Диапазон возможных значений $y$ — это отрезок $[0; 8]$.

а) тупой;

Угол является тупым, если $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$. Это условие выполняется, когда $\cos \alpha < 0$.

$\frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}} < 0$

Знаменатель дроби всегда положителен, поэтому неравенство сводится к $4-y < 0$, откуда следует, что $y > 4$.

На отрезке $[0; 8]$ этому условию удовлетворяет интервал $(4; 8]$. Длина этого интервала $l_a = 8 - 4 = 4$.

Вероятность того, что угол будет тупым, равна:

$P(a) = \frac{l_a}{L} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) меньше 45°;

Угол меньше $45^\circ$, если $0^\circ \le \alpha < 45^\circ$. Поскольку функция косинуса убывает на отрезке $[0^\circ; 180^\circ]$, это условие эквивалентно $\cos \alpha > \cos 45^\circ$.

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Получаем неравенство: $\frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}} > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для того чтобы левая часть была положительной, необходимо, чтобы $4-y > 0$, то есть $y < 4$. При этом условии обе части неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат:

$\frac{(4-y)^2}{16 + (4-y)^2} > \frac{1}{2}$

$2(4-y)^2 > 16 + (4-y)^2$

$(4-y)^2 > 16$

Извлекая корень, получаем $|4-y| > 4$. Так как мы рассматриваем случай $y<4$, то $4-y>0$, и модуль можно убрать: $4-y > 4$, что дает $-y > 0$ или $y < 0$.

Таким образом, для выполнения условия $y$ должен быть меньше 0. Однако по условию задачи $y \in [0; 8]$. Пересечение множеств $y < 0$ и $[0; 8]$ пусто. Длина благоприятствующего интервала $l_b = 0$.

Вероятность этого события равна:

$P(б) = \frac{l_b}{L} = \frac{0}{8} = 0$

Ответ: $0$

в) острый;

Угол является острым, если $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$. Это условие выполняется, когда $\cos \alpha > 0$ (случай $\alpha=90^\circ$ имеет нулевую вероятность).

$\frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}} > 0$

Это неравенство выполняется при $4-y > 0$, то есть $y < 4$.

На отрезке $[0; 8]$ этому условию удовлетворяет интервал $[0; 4)$. Длина этого интервала $l_c = 4 - 0 = 4$.

Вероятность того, что угол будет острым, равна:

$P(в) = \frac{l_c}{L} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) больше 60°;

Угол больше $60^\circ$, если $60^\circ < \alpha \le 180^\circ$. Это условие эквивалентно $\cos \alpha < \cos 60^\circ$.

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Решаем неравенство: $\frac{4-y}{\sqrt{16 + (4-y)^2}} < \frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $y > 4$, то $4-y < 0$, и $\cos \alpha < 0$. Неравенство $\cos \alpha < \frac{1}{2}$ выполняется всегда, так как отрицательное число всегда меньше $1/2$. Следовательно, весь интервал $(4; 8]$ является благоприятствующим. Его длина равна $8 - 4 = 4$.

2. Если $y \le 4$, то $4-y \ge 0$, и $\cos \alpha \ge 0$. Обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат:

$\frac{(4-y)^2}{16 + (4-y)^2} < \frac{1}{4}$

$4(4-y)^2 < 16 + (4-y)^2$

$3(4-y)^2 < 16$

$(4-y)^2 < \frac{16}{3}$

Извлекая корень, получаем $|4-y| < \frac{4}{\sqrt{3}}$. Поскольку $y \le 4$, то $4-y \ge 0$, и модуль можно убрать: $4-y < \frac{4}{\sqrt{3}}$, откуда $y > 4 - \frac{4}{\sqrt{3}}$.

В этом случае благоприятствующий интервал $(4 - \frac{4}{\sqrt{3}}; 4]$. Его длина равна $4 - (4 - \frac{4}{\sqrt{3}}) = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

Общая длина благоприятствующего интервала для $y$ равна сумме длин из двух случаев: $l_d = 4 + \frac{4}{\sqrt{3}}$.

Вероятность этого события равна:

$P(г) = \frac{l_d}{L} = \frac{4 + \frac{4}{\sqrt{3}}}{8} = \frac{1}{2} + \frac{4}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{3+\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{3+\sqrt{3}}{6}$