Номер 22.15, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.15, страница 150.

22.15. Точку случайным образом выбирают из фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 3$. Найдите вероятность того, что она лежит:

a) левее прямой $x = 1$;

б) выше прямой $y = 4$;

в) правее прямой $x = 2$;

г) ниже прямой $y = 1$.

Для решения задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события равна отношению площади области, благоприятствующей событию, к площади всей фигуры.

Сначала определим фигуру и найдем ее общую площадь. Фигура ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x=3$. Поскольку парабола $y=x^2$ пересекает ось $y=0$ в точке $x=0$, область определения фигуры по оси $x$ — это отрезок $[0, 3]$.

Общая площадь фигуры ($S_{общ}$) вычисляется как площадь криволинейной трапеции под графиком функции $y=x^2$ на отрезке от 0 до 3. Эта площадь находится с помощью определенного интеграла:

$S_{общ} = \int_{0}^{3} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Теперь найдем вероятность для каждого из указанных случаев.

а) левее прямой x = 1

Событие состоит в том, что выбранная точка имеет координату $x < 1$. Благоприятствующая этому событию область ($S_a$) — это часть исходной фигуры, лежащая в полосе $0 \le x \le 1$. Площадь этой области вычисляется аналогично общей площади, но с другими пределами интегрирования:

$S_a = \int_{0}^{1} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.

Вероятность $P(a)$ равна отношению площади $S_a$ к общей площади $S_{общ}$:

$P(a) = \frac{S_a}{S_{общ}} = \frac{1/3}{9} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

б) выше прямой y = 4

Событие состоит в том, что координата $y$ выбранной точки больше 4. Так как все точки фигуры находятся под параболой $y=x^2$, условие $y > 4$ влечет за собой $x^2 > 4$. Учитывая, что $x \ge 0$, получаем $x > 2$.

Таким образом, благоприятствующая область ($S_б$) ограничена прямыми $x=2$, $x=3$, $y=4$ и параболой $y=x^2$. Ее площадь можно вычислить как интеграл от разности функций $y=x^2$ и $y=4$ на отрезке от 2 до 3:

$S_б = \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2 \right) = (9 - 12) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -3 - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} - 3 = \frac{7}{3}$.

Вероятность $P(б)$ равна:

$P(б) = \frac{S_б}{S_{общ}} = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$.

Ответ: $\frac{7}{27}$.

в) правее прямой x = 2

Событие состоит в том, что координата $x$ выбранной точки больше 2. Благоприятствующая область ($S_в$) — это часть исходной фигуры, лежащая в полосе $2 \le x \le 3$. Ее площадь вычисляется интегрированием:

$S_в = \int_{2}^{3} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$.

Вероятность $P(в)$ равна:

$P(в) = \frac{S_в}{S_{общ}} = \frac{19/3}{9} = \frac{19}{27}$.

Ответ: $\frac{19}{27}$.

г) ниже прямой y = 1

Событие состоит в том, что координата $y$ выбранной точки меньше 1. Благоприятствующая область ($S_г$) — это часть исходной фигуры, лежащая ниже прямой $y=1$. Прямая $y=1$ пересекает параболу $y=x^2$ при $x=1$ (так как $x \ge 0$).

Эту область удобно разбить на две части:

1. Для $0 \le x \le 1$, область ограничена сверху параболой $y=x^2$. Ее площадь $S_1 = \int_{0}^{1} x^2 \,dx = \frac{1}{3}$.

2. Для $1 \le x \le 3$, область ограничена сверху прямой $y=1$. Эта часть является прямоугольником с высотой 1 и шириной $3-1=2$. Его площадь $S_2 = 1 \cdot (3-1) = 2$.

Суммарная площадь благоприятствующей области:

$S_г = S_1 + S_2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$.

Вероятность $P(г)$ равна:

$P(г) = \frac{S_г}{S_{общ}} = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$.

Ответ: $\frac{7}{27}$.