Номер 22.16, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.16, страница 151.

22.16. Точка случайным образом выбирается из фигуры, ограниченной графиком функции $y = e^x$, осью ординат и прямой $y = e$. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) в первой координатной четверти;

б) правее прямой $x = 1$;

в) правее прямой $x = 0,5$;

г) ниже прямой $y = \sqrt{e}$.

Сначала определим фигуру, из которой выбирается точка. Фигура ограничена графиком функции $y = e^x$, осью ординат ($x = 0$) и прямой $y = e$. Найдем точки пересечения этих линий:

• Пересечение $y = e^x$ и $x = 0$: $y = e^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Пересечение $y = e^x$ и $y = e$: $e = e^x$, откуда $x = 1$. Точка $(1, e)$.

Таким образом, фигура представляет собой область, ограниченную слева прямой $x=0$, справа прямой $x=1$, сверху прямой $y=e$ и снизу кривой $y=e^x$.

Вероятность в задачах на геометрическую вероятность определяется как отношение площади благоприятствующей области к площади всей фигуры. Найдем площадь всей фигуры ($S_{общ}$), вычислив определенный интеграл:

$S_{общ} = \int_{0}^{1} (e - e^x) dx = [ex - e^x]_{0}^{1} = (e \cdot 1 - e^1) - (e \cdot 0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1$.

Площадь всей фигуры равна 1. Теперь найдем вероятность для каждого случая, вычисляя площадь соответствующей подобласти ($S_{бл}$). Вероятность будет равна $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = S_{бл}$.

а) в первой координатной четверти;

Первая координатная четверть определяется условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Наша фигура задана для $0 \le x \le 1$, поэтому условие $x \ge 0$ выполняется. Нижняя граница фигуры — кривая $y = e^x$. Поскольку для $x \in [0, 1]$ значение $e^x$ меняется от $e^0=1$ до $e^1=e$, то $y \ge 1$, и, следовательно, $y > 0$. Таким образом, вся фигура целиком лежит в первой координатной четверти. Площадь благоприятствующей области равна площади всей фигуры, то есть 1.

Вероятность $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

б) правее прямой $x = 1$;

Условие "правее прямой $x=1$" означает, что координата $x$ точки должна быть больше 1 ($x > 1$). Однако вся наша фигура расположена в полосе $0 \le x \le 1$. Нет ни одной точки в фигуре, которая удовлетворяла бы условию $x > 1$. Следовательно, площадь благоприятствующей области равна 0.

Вероятность $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $0$

в) правее прямой $x = 0,5$;

Благоприятствующая область — это часть фигуры, для которой $x > 0,5$. Эта область ограничена прямыми $x=0,5$, $x=1$, $y=e$ и кривой $y=e^x$. Найдем ее площадь:

$S_{бл} = \int_{0,5}^{1} (e - e^x) dx = [ex - e^x]_{0,5}^{1} = (e \cdot 1 - e^1) - (e \cdot 0,5 - e^{0,5}) = (e - e) - (0,5e - \sqrt{e}) = 0 - 0,5e + \sqrt{e} = \sqrt{e} - 0,5e$.

Вероятность $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\sqrt{e} - 0,5e}{1} = \sqrt{e} - 0,5e$.

Ответ: $\sqrt{e} - 0,5e$

г) ниже прямой $y = \sqrt{e}$.

Благоприятствующая область — это часть фигуры, для которой $y < \sqrt{e}$. В нашей фигуре $y$ изменяется от $e^x$ до $e$. Условие $y < \sqrt{e}$ вместе с исходным ограничением $y \ge e^x$ дает нам $e^x \le y < \sqrt{e}$. Это неравенство возможно только если $e^x \le \sqrt{e}$, то есть $e^x \le e^{0,5}$, что равносильно $x \le 0,5$. Таким образом, благоприятствующая область ограничена $0 \le x \le 0,5$, снизу $y=e^x$, сверху $y=\sqrt{e}$. Найдем ее площадь:

$S_{бл} = \int_{0}^{0,5} (\sqrt{e} - e^x) dx = [x\sqrt{e} - e^x]_{0}^{0,5} = (0,5\sqrt{e} - e^{0,5}) - (0 \cdot \sqrt{e} - e^0) = (0,5\sqrt{e} - \sqrt{e}) - (0 - 1) = -0,5\sqrt{e} + 1 = 1 - 0,5\sqrt{e}$.

Вероятность $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{1 - 0,5\sqrt{e}}{1} = 1 - 0,5\sqrt{e}$.

Ответ: $1 - 0,5\sqrt{e}$