Номер 22.17, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.17, страница 151.

22.17. Под аркой синусоиды $y = \sin x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$, случайным образом выбирают точку выше оси абсцисс. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) выше прямой $y = \sqrt{2}$;

б) левее прямой $x = \frac{\pi}{3}$;

в) ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) правее прямой $x = \frac{3\pi}{4}$.

Для решения задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события равна отношению площади фигуры, соответствующей благоприятным исходам, к площади всей области возможных исходов.

Область возможных исходов — это фигура, ограниченная кривой $y = \sin x$ и осью абсцисс на отрезке $0 \le x \le \pi$. Найдем ее площадь $S$, которая является мерой всего пространства элементарных событий.

$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Общая площадь области равна 2.

a) выше прямой $y = \sqrt{2}$

Событие заключается в том, что случайно выбранная точка $(x, y)$ лежит выше прямой $y = \sqrt{2}$, то есть $y > \sqrt{2}$. Точка также должна находиться в области под аркой синусоиды, что означает $0 \le y \le \sin x$.

Максимальное значение функции $y = \sin x$ на отрезке $[0, \pi]$ равно 1. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, не существует точек в заданной области, для которых $y > \sqrt{2}$.

Следовательно, площадь области, благоприятствующей данному событию, равна 0. Вероятность такого события равна отношению площади благоприятствующей области к общей площади.

$P = \frac{0}{S} = \frac{0}{2} = 0$.

Ответ: $0$.

б) левее прямой $x = \frac{\pi}{3}$

Событие заключается в том, что абсцисса случайно выбранной точки $x$ меньше $\frac{\pi}{3}$. Точка должна находиться в области, ограниченной условиями $0 \le x < \frac{\pi}{3}$ и $0 \le y \le \sin x$.

Площадь этой области $S_б$ (благоприятствующей событию) вычисляется с помощью интеграла:

$S_б = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \left(-\cos \frac{\pi}{3}\right) - (-\cos 0) = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$.

Вероятность этого события равна отношению площади $S_б$ к общей площади $S$.

$P = \frac{S_б}{S} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Событие заключается в том, что ордината случайно выбранной точки $y$ меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Область, благоприятствующая событию, определяется условиями $0 \le x \le \pi$ и $0 \le y < \min(\sin x, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для вычисления площади этой области $S_в$ необходимо разбить интервал интегрирования $[0, \pi]$ на части в зависимости от того, где $\sin x$ больше или меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0, \pi]$: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

• При $0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3} \le x \le \pi$, имеем $\sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$. Верхняя граница области — $y = \sin x$.
• При $\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$, имеем $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Верхняя граница области — прямая $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь $S_в$ равна сумме трёх интегралов:

$S_в = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sqrt{3}}{2} \,dx + \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \sin x \,dx$

Вычислим каждый интеграл:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sqrt{3}}{2} \,dx = \frac{\sqrt{3}}{2} [x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

$\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} = -(-1) - \left(-\cos\frac{2\pi}{3}\right) = 1 + \cos\frac{2\pi}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Суммарная площадь: $S_в = \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

Вероятность события: $P = \frac{S_в}{S} = \frac{1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

г) правее прямой $x = \frac{3\pi}{4}$

Событие заключается в том, что абсцисса случайно выбранной точки $x$ больше $\frac{3\pi}{4}$. Точка должна находиться в области, ограниченной условиями $\frac{3\pi}{4} < x \le \pi$ и $0 \le y \le \sin x$.

Площадь этой области $S_г$ вычисляется с помощью интеграла:

$S_г = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} = (-\cos \pi) - \left(-\cos \frac{3\pi}{4}\right) = -(-1) - \left(-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вероятность этого события равна отношению площади $S_г$ к общей площади $S$.

$P = \frac{S_г}{S} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$.