Номер 22.14, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.14, страница 150.

22.14. На координатной плоскости даны точки A(0; 3), B(4; 6), C(6; 0). В треугольнике ABC случайным образом выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

а) ниже прямой $y = 3$;

б) правее прямой $x = 4$;

в) ближе к прямой AC, чем к прямой AB;

г) ближе к прямой AC, чем к прямой BC.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной области к общей площади фигуры. В данном случае, общая фигура — это треугольник ABC.

Сначала найдем общую площадь — площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(0; 3), B(4; 6), C(6; 0). Воспользуемся формулой площади треугольника по координатам его вершин (метод "шнурков"):

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |(0(6 - 0) + 4(0 - 3) + 6(3 - 6))|$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |(0 + 4(-3) + 6(-3))| = \frac{1}{2} |(-12 - 18)| = \frac{1}{2} |-30| = 15$.

Итак, общая площадь $S_{ABC} = 15$ квадратных единиц.

а) ниже прямой $y = 3$

Нам нужно найти площадь той части треугольника ABC, которая лежит ниже прямой $y = 3$ (т.е. где $y < 3$). Эта прямая проходит через вершину A(0; 3). Чтобы найти область, ограниченную этой прямой, найдем ее точку пересечения со стороной BC.

Уравнение прямой BC, проходящей через точки B(4; 6) и C(6; 0):

Наклон: $k = \frac{0 - 6}{6 - 4} = \frac{-6}{2} = -3$.

Уравнение: $y - 0 = -3(x - 6) \Rightarrow y = -3x + 18$.

Найдем пересечение с прямой $y = 3$:

$3 = -3x + 18 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$.

Точка пересечения D имеет координаты (5; 3).

Благоприятная область — это треугольник ADC с вершинами A(0; 3), D(5; 3) и C(6; 0). Основание AD этого треугольника лежит на прямой $y=3$ и его длина равна $5 - 0 = 5$. Высота треугольника ADC, проведенная из вершины C к основанию AD, равна разности y-координат: $3 - 0 = 3$.

Площадь благоприятной области:

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7.5$.

Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется ниже прямой $y=3$, равна:

$P(а) = \frac{S_{ADC}}{S_{ABC}} = \frac{7.5}{15} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) правее прямой $x = 4$

Теперь найдем площадь той части треугольника ABC, которая лежит правее прямой $x = 4$ (т.е. где $x > 4$). Эта прямая проходит через вершину B(4; 6). Найдем ее точку пересечения со стороной AC.

Уравнение прямой AC, проходящей через точки A(0; 3) и C(6; 0):

Наклон: $k = \frac{0 - 3}{6 - 0} = \frac{-3}{6} = -0.5$.

Уравнение: $y - 3 = -0.5(x - 0) \Rightarrow y = -0.5x + 3$.

Найдем пересечение с прямой $x = 4$:

$y = -0.5(4) + 3 = -2 + 3 = 1$.

Точка пересечения E имеет координаты (4; 1).

Благоприятная область — это треугольник BCE с вершинами B(4; 6), C(6; 0) и E(4; 1). Основание BE этого треугольника лежит на прямой $x=4$ и его длина равна $6 - 1 = 5$. Высота треугольника BCE, проведенная из вершины C к основанию BE, равна разности x-координат: $6 - 4 = 2$.

Площадь благоприятной области:

$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$.

Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется правее прямой $x=4$, равна:

$P(б) = \frac{S_{BCE}}{S_{ABC}} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) ближе к прямой AC, чем к прямой AB

Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла между ними. Точки внутри треугольника ABC, которые ближе к прямой AC, чем к AB, отделены от остальной части треугольника биссектрисой угла BAC.

Благоприятной областью является та часть треугольника, что лежит между стороной AC и биссектрисой угла A. Вероятность равна отношению площади этой области к площади всего треугольника ABC. По свойству биссектрисы, отношение площадей треугольников, на которые биссектриса делит исходный треугольник, равно отношению прилежащих сторон. Вероятность можно выразить через длины сторон:

$P(в) = \frac{AC}{AB + AC}$.

Найдем длины сторон AB и AC:

$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

$AC = \sqrt{(6-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Подставим значения в формулу вероятности:

$P(в) = \frac{3\sqrt{5}}{5 + 3\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$P(в) = \frac{3\sqrt{5}}{5 + 3\sqrt{5}} \cdot \frac{5 - 3\sqrt{5}}{5 - 3\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5} - 9 \cdot 5}{5^2 - (3\sqrt{5})^2} = \frac{15\sqrt{5} - 45}{25 - 45} = \frac{15\sqrt{5} - 45}{-20} = \frac{45 - 15\sqrt{5}}{20} = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{4}$.

Ответ: $\frac{9 - 3\sqrt{5}}{4}$.

г) ближе к прямой AC, чем к прямой BC

Аналогично пункту в), множество точек, которые ближе к прямой AC, чем к BC, ограничено биссектрисой угла BCA. Вероятность равна отношению длины прилежащей стороны AC к сумме длин прилежащих сторон AC и BC:

$P(г) = \frac{AC}{AC + BC}$.

Длина AC уже известна: $AC = 3\sqrt{5}$.

Найдем длину стороны BC:

$BC = \sqrt{(6-4)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Подставим значения в формулу вероятности:

$P(г) = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{2 \cdot 5}} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\sqrt{5}}$.

Сократим на $\sqrt{5}$:

$P(г) = \frac{3}{3 + 2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - 2\sqrt{2})$:

$P(г) = \frac{3(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{9 - 8} = 9 - 6\sqrt{2}$.

Ответ: $9 - 6\sqrt{2}$.