Номер 22.13, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.13, страница 150.

22.13. Случайным образом выбирают два решения — $x_1$ и $x_2$ неравенства $|x - 2| \le 2$ и точку $(x_1; x_2)$ отмечают на координатной плоскости. Найдите вероятность того, что:

а) оба решения не больше 2;

б) хотя бы одно из решений не больше 2;

в) сумма этих решений больше 3;

г) $x_1$ и $x_2$ отличаются друг от друга (по модулю) не более, чем на 1.

Для начала решим неравенство $|x - 2| \le 2$, чтобы определить множество всех возможных решений. Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-2 \le x - 2 \le 2$

Прибавив 2 ко всем частям, получаем:

$0 \le x \le 4$

Таким образом, оба решения $x_1$ и $x_2$ выбираются случайным образом из отрезка $[0; 4]$. На координатной плоскости $(x_1; x_2)$ все возможные исходы образуют квадрат с вершинами в точках (0, 0), (4, 0), (4, 4) и (0, 4).

Площадь этого квадрата (пространства элементарных исходов) равна $S = 4 \times 4 = 16$.

Вероятность события в данном случае будет равна отношению площади фигуры, соответствующей благоприятным исходам, к площади всего квадрата.

а) оба решения не больше 2;

Это условие означает, что $x_1 \le 2$ и $x_2 \le 2$. Учитывая, что $x_1, x_2 \in [0; 4]$, получаем систему неравенств: $0 \le x_1 \le 2$ $0 \le x_2 \le 2$ Эта система определяет квадрат в координатной плоскости с вершинами в точках (0, 0), (2, 0), (2, 2) и (0, 2). Площадь этой области (благоприятных исходов) $S_a = 2 \times 2 = 4$. Вероятность этого события равна: $P_a = \frac{S_a}{S} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) хотя бы одно из решений не больше 2;

Это условие означает, что $x_1 \le 2$ или $x_2 \le 2$. Проще найти вероятность противоположного события, которое заключается в том, что оба решения больше 2, то есть $x_1 > 2$ и $x_2 > 2$. Эта система неравенств определяет квадрат с вершинами в точках (2, 2), (4, 2), (4, 4) и (2, 4). Площадь этой области $S_{б'} = (4-2) \times (4-2) = 4$. Вероятность противоположного события: $P_{б'} = \frac{S_{б'}}{S} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Тогда вероятность искомого события равна: $P_б = 1 - P_{б'} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

в) сумма этих решений больше 3;

Это условие описывается неравенством $x_1 + x_2 > 3$. Рассмотрим противоположное событие: $x_1 + x_2 \le 3$. В нашем квадрате $0 \le x_1 \le 4, 0 \le x_2 \le 4$ область, заданная неравенством $x_1 + x_2 \le 3$, представляет собой прямоугольный треугольник, ограниченный осями координат и прямой $x_1 + x_2 = 3$. Вершины этого треугольника — (0, 0), (3, 0) и (0, 3). Площадь этого треугольника (неблагоприятных исходов) $S_{в'} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$. Площадь области благоприятных исходов равна разности площади всего квадрата и площади этого треугольника: $S_в = S - S_{в'} = 16 - 4.5 = 11.5$. Вероятность искомого события: $P_в = \frac{S_в}{S} = \frac{11.5}{16} = \frac{23/2}{16} = \frac{23}{32}$.
Ответ: $\frac{23}{32}$

г) $x_1$ и $x_2$ отличаются друг от друга (по модулю) не более, чем на 1.

Это условие можно записать как $|x_1 - x_2| \le 1$. Это неравенство равносильно системе: $-1 \le x_1 - x_2 \le 1$, что можно переписать как $x_2 \le x_1 + 1$ и $x_2 \ge x_1 - 1$. Область благоприятных исходов — это часть квадрата, заключенная между прямыми $x_2 = x_1 - 1$ и $x_2 = x_1 + 1$. Найдем площадь неблагоприятных исходов, то есть области, где $|x_1 - x_2| > 1$. Это соответствует двум областям: $x_2 > x_1 + 1$ и $x_2 < x_1 - 1$. 1. Область $x_2 > x_1 + 1$ в квадрате $0 \le x_1 \le 4, 0 \le x_2 \le 4$ — это треугольник с вершинами (0, 1), (0, 4) и (3, 4). Его площадь $S_{г'_1} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$. 2. Область $x_2 < x_1 - 1$ в квадрате $0 \le x_1 \le 4, 0 \le x_2 \le 4$ — это треугольник с вершинами (1, 0), (4, 0) и (4, 3). Его площадь $S_{г'_2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$. Общая площадь неблагоприятных исходов $S_{г'} = S_{г'_1} + S_{г'_2} = 4.5 + 4.5 = 9$. Площадь благоприятных исходов $S_г = S - S_{г'} = 16 - 9 = 7$. Вероятность искомого события: $P_г = \frac{S_г}{S} = \frac{7}{16}$.
Ответ: $\frac{7}{16}$