Номер 22.7, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.7, страница 149.

22.7. В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 5$, $BC = 10$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

a) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $AD$;

б) ближе к прямой $AD$, чем к каждой из прямых $AB$, $CD$;

в) ближе к вершине $A$, чем к вершинам $B$ и $C$;

г) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $AC$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину A прямоугольника в начало координат (0, 0). Поскольку стороны $AB=5$ и $BC=10$, расположим вершины следующим образом: A(0, 0), B(5, 0), C(5, 10) и D(0, 10).Площадь всего прямоугольника (пространства элементарных исходов) равна $S_{общ} = AB \cdot BC = 5 \cdot 10 = 50$.Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной области $S_{бл}$ к общей площади $S_{общ}$.

а) ближе к прямой AB, чем к прямой AD;

Прямая AB в нашей системе координат является осью Ox, ее уравнение $y=0$. Прямая AD является осью Oy, ее уравнение $x=0$. Для любой точки M с координатами $(x, y)$ внутри прямоугольника расстояние до прямой AB равно $y$, а расстояние до прямой AD равно $x$.Условие, что точка расположена ближе к прямой AB, чем к прямой AD, записывается неравенством $y < x$.Нам нужно найти площадь той части прямоугольника, где $y < x$. Эта область ограничена прямыми $y=x$, $y=0$ (ось Ox) и $x=5$ (прямая BC).Данная область представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках A(0, 0), B(5, 0) и E(5, 5) (точка пересечения прямых $y=x$ и $x=5$).Площадь этого треугольника (благоприятная область) равна:$S_{бл} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,5$.Вероятность равна отношению благоприятной площади к общей:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{12,5}{50} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) ближе к прямой AD, чем к каждой из прямых AB, CD;

Расстояние от точки M(x, y) до прямых:

• до AD ($x=0$): $d_1 = x$
• до AB ($y=0$): $d_2 = y$
• до CD ($y=10$): $d_3 = 10-y$

Условие задачи записывается системой неравенств: $d_1 < d_2$ и $d_1 < d_3$.$x < y$ и $x < 10-y$.Это можно переписать как $y > x$ и $y < 10-x$.Благоприятная область ограничена прямыми $x=0$ (прямая AD), $y=x$ (биссектриса угла DAB) и $y=10-x$ (биссектриса угла ADC).Вершины этой треугольной области: A(0, 0), D(0, 10) и точка пересечения прямых $y=x$ и $y=10-x$. Найдем точку пересечения: $x = 10-x \implies 2x=10 \implies x=5$, тогда $y=5$. Точка пересечения - P(5, 5).Таким образом, благоприятная область - это треугольник с вершинами A(0, 0), D(0, 10) и P(5, 5).Основание этого треугольника AD лежит на оси Oy и его длина равна 10. Высота, проведенная из вершины P к основанию AD, равна x-координате точки P, то есть 5.Площадь благоприятной области:$S_{бл} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$.Вероятность равна:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) ближе к вершине A, чем к вершинам B и C;

Условие "ближе к вершине A, чем к B" означает, что точка M(x, y) лежит в полуплоскости, ограниченной серединным перпендикуляром к отрезку AB. Серединный перпендикуляр к AB (A(0,0), B(5,0)) - это прямая $x=2,5$. Условие $d(M,A) < d(M,B)$ эквивалентно $x < 2,5$.Условие "ближе к вершине A, чем к C" означает, что точка M(x, y) лежит в полуплоскости, ограниченной серединным перпендикуляром к отрезку AC. Найдем его уравнение из условия равенства квадратов расстояний:$d(M,A)^2 = d(M,C)^2 \implies x^2 + y^2 = (x-5)^2 + (y-10)^2$$x^2 + y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 20y + 100$$0 = -10x - 20y + 125 \implies 10x + 20y = 125 \implies 2x + 4y = 25$.Условие $d(M,A) < d(M,C)$ эквивалентно $2x+4y < 25$, или $y < -\frac{1}{2}x + \frac{25}{4}$.Итак, благоприятная область внутри прямоугольника определяется системой неравенств:$0 \le x < 2,5$ и $0 \le y < -\frac{1}{2}x + \frac{25}{4}$.Площадь этой области можно найти с помощью интеграла:$S_{бл} = \int_0^{2,5} \left(-\frac{1}{2}x + \frac{25}{4}\right) dx = \left[-\frac{x^2}{4} + \frac{25x}{4}\right]_0^{2,5} = -\frac{(2,5)^2}{4} + \frac{25 \cdot 2,5}{4} = \frac{1}{4}(-6,25 + 62,5) = \frac{56,25}{4} = \frac{225/4}{4} = \frac{225}{16}$.Вероятность равна:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{225/16}{50} = \frac{225}{16 \cdot 50} = \frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 2 \cdot 25} = \frac{9}{32}$.
Ответ: $\frac{9}{32}$

г) ближе к прямой AB, чем к прямой AC.

Прямая AB - это ось Ox ($y=0$). Прямая AC проходит через A(0,0) и C(5,10), ее уравнение $y=2x$ или $2x-y=0$.Расстояние от точки M(x, y) до прямой AB равно $d(M,AB)=y$.Расстояние от точки M(x, y) до прямой AC равно $d(M,AC) = \frac{|2x-y|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$.Условие задачи: $y < \frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$.Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, - это биссектрисы углов между ними. Уравнения биссектрис углов между AB и AC: $y = \pm \frac{2x-y}{\sqrt{5}}$.Для угла внутри прямоугольника (острый угол между AB и AC) уравнение биссектрисы: $\sqrt{5}y = 2x-y \implies (\sqrt{5}+1)y=2x \implies y = \frac{2}{\sqrt{5}+1}x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}x$.Область, где точки расположены ближе к прямой AB, находится между прямой AB ($y=0$) и этой биссектрисой.Таким образом, благоприятная область - это часть прямоугольника, где $0 \le y < \frac{\sqrt{5}-1}{2}x$.Эта область представляет собой треугольник с вершинами в A(0,0), B(5,0) и точке пересечения биссектрисы $y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$ со стороной BC ($x=5$).Найдем y-координату точки пересечения: $y = 5 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.Площадь этого треугольника (благоприятная область):$S_{бл} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \left(5\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = \frac{25(\sqrt{5}-1)}{4}$.Вероятность равна:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{25(\sqrt{5}-1)/4}{50} = \frac{25(\sqrt{5}-1)}{4 \cdot 50} = \frac{\sqrt{5}-1}{8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}-1}{8}$