Номер 22.4, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Вероятность и геометрия. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 22.4, страница 148.

22.4. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $\frac{2x^2 + 15x + 18}{9 + 9x - 4x^2} \ge 0$. Что более вероятно:

а) то, что оно положительно, или то, что оно отрицательно;

б) то, что оно меньше $-3$, или то, что оно больше $-3$;

в) то, что оно целое, или то, что оно не целое;

г) то, что оно больше $-5$, или то, что оно меньше $-2$?

Для решения задачи сначала найдем множество всех решений данного неравенства.$$ \frac{2x^2 + 15x + 18}{9 + 9x - 4x^2} \ge 0 $$

1. Найдем корни числителя: $2x^2 + 15x + 18 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-15 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$; $x_2 = \frac{-15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$.

2. Найдем корни знаменателя: $9 + 9x - 4x^2 = 0$.
Умножим на -1 для удобства: $4x^2 - 9x - 9 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни: $x_3 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -0.75$; $x_4 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому эти значения исключаются из множества решений: $x \ne -0.75$ и $x \ne 3$.

3. Решим неравенство методом интервалов.
Перепишем неравенство, разложив числитель и знаменатель на множители:$$ \frac{2(x - (-6))(x - (-1.5))}{ -4(x - 3)(x - (-0.75))} \ge 0 $$$$ \frac{2(x+6)(x+1.5)}{ -4(x-3)(x+0.75)} \ge 0 $$Разделим обе части на -2, изменив при этом знак неравенства на противоположный:$$ \frac{(x+6)(x+1.5)}{(x-3)(x+0.75)} \le 0 $$Отметим на числовой оси корни числителя $x = -6$ и $x = -1.5$ (закрашенными точками, так как неравенство нестрогое) и корни знаменателя $x = -0.75$ и $x = 3$ (выколотыми точками).
Определим знаки выражения на получившихся интервалах.

Решением неравенства $\le 0$ являются интервалы со знаком "минус", включая концы, принадлежащие числителю.
Множество решений: $S = [-6, -1.5] \cup (-0.75, 3)$.

Чтобы сравнить вероятности, мы будем сравнивать длины (меры) соответствующих подмножеств решений. Общая длина множества решений: $L = (-1.5 - (-6)) + (3 - (-0.75)) = 4.5 + 3.75 = 8.25$.

а) то, что оно положительно, или то, что оно отрицательно;

Найдем подмножество отрицательных решений: это пересечение множества решений $S$ с интервалом $(-\infty, 0)$.
Отрицательные решения: $[-6, -1.5] \cup (-0.75, 0)$.
Длина этого множества: $L_{отр} = (-1.5 - (-6)) + (0 - (-0.75)) = 4.5 + 0.75 = 5.25$.
Найдем подмножество положительных решений: это пересечение множества решений $S$ с интервалом $(0, +\infty)$.
Положительные решения: $(0, 3)$.
Длина этого множества: $L_{пол} = 3 - 0 = 3$.
Поскольку $L_{отр} > L_{пол}$ ($5.25 > 3$), более вероятно, что случайно выбранное решение будет отрицательным.
Ответ: более вероятно, что оно отрицательно.

б) то, что оно меньше –3, или то, что оно больше –3;

Найдем подмножество решений, которые меньше –3: $S \cap (-\infty, -3) = [-6, -3)$.
Длина этого множества: $L_{< -3} = -3 - (-6) = 3$.
Найдем подмножество решений, которые больше –3: $S \cap (-3, +\infty) = (-3, -1.5] \cup (-0.75, 3)$.
Длина этого множества: $L_{> -3} = (-1.5 - (-3)) + (3 - (-0.75)) = 1.5 + 3.75 = 5.25$.
Поскольку $L_{> -3} > L_{< -3}$ ($5.25 > 3$), более вероятно, что случайно выбранное решение будет больше –3.
Ответ: более вероятно, что оно больше –3.

в) то, что оно целое, или то, что оно не целое;

Найдем все целые числа, входящие в множество решений $S = [-6, -1.5] \cup (-0.75, 3)$.
В интервал $[-6, -1.5]$ входят целые числа: -6, -5, -4, -3, -2. Всего 5 чисел.
В интервал $(-0.75, 3)$ входят целые числа: 0, 1, 2. Всего 3 числа.
Общее количество целых решений — $5 + 3 = 8$.
Множество целых решений является счетным (имеет меру ноль), в то время как множество всех решений является несчетным и имеет конечную положительную длину (меру 8.25). При случайном выборе точки из непрерывного множества вероятность попадания в любое счетное подмножество равна нулю.
Следовательно, практически достоверно, что выбранное число не будет целым.
Ответ: более вероятно, что оно не целое.

г) то, что оно больше –5, или то, что оно меньше –2?

Найдем подмножество решений, которые больше –5: $S \cap (-5, +\infty) = (-5, -1.5] \cup (-0.75, 3)$.
Длина этого множества: $L_{> -5} = (-1.5 - (-5)) + (3 - (-0.75)) = 3.5 + 3.75 = 7.25$.
Найдем подмножество решений, которые меньше –2: $S \cap (-\infty, -2) = [-6, -2)$.
Длина этого множества: $L_{< -2} = -2 - (-6) = 4$.
Поскольку $L_{> -5} > L_{< -2}$ ($7.25 > 4$), более вероятно, что случайно выбранное решение будет больше –5.
Ответ: более вероятно, что оно больше –5.