Номер 21.76, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.76, страница 146.

21.76. a) При каком положительном значении параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = a$, равна $\frac{7}{8}$?

б) При каком отрицательном значении параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = a$, равна $\frac{10}{11}$?

а)

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=x_1$, $x=x_2$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Если $f(x) \ge 0$ на отрезке $[x_1, x_2]$, то площадь $S$ равна $\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx$.

В данной задаче фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = a$. Функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна для всех $x \neq 0$. По условию, параметр $a$ также положителен. Площадь $S$ можно выразить как интеграл от $x=1$ до $x=a$:

$S = \int_1^a \frac{1}{x^2} dx$

Для нахождения этого интеграла сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-\frac{1}{x}]_1^a = (-\frac{1}{a}) - (-\frac{1}{1}) = 1 - \frac{1}{a}$

По условию задачи, площадь $S$ равна $\frac{7}{8}$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:

$1 - \frac{1}{a} = \frac{7}{8}$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$\frac{1}{a} = 1 - \frac{7}{8}$

$\frac{1}{a} = \frac{8}{8} - \frac{7}{8}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{8}$

$a = 8$

Полученное значение $a=8$ является положительным, как и требовалось в условии. Геометрически, чтобы площадь, вычисленная как $\int_1^a f(x)dx$, была положительной, необходимо, чтобы $a > 1$, чему удовлетворяет найденное решение.
Ответ: $a=8$.

б)

Аналогично, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = a$, вычисляется через определенный интеграл. По условию, параметр $a$ отрицателен ($a < 0$).

Выразим площадь $S$ через интеграл:

$S = \int_{-1}^a \frac{1}{x^2} dx$

Используя первообразную $F(x) = -\frac{1}{x}$, найденную в предыдущем пункте, вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-\frac{1}{x}]_{-1}^a = (-\frac{1}{a}) - (-\frac{1}{-1}) = -\frac{1}{a} - 1$

По условию, площадь $S$ равна $\frac{10}{11}$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:

$-\frac{1}{a} - 1 = \frac{10}{11}$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$-\frac{1}{a} = 1 + \frac{10}{11}$

$-\frac{1}{a} = \frac{11}{11} + \frac{10}{11}$

$-\frac{1}{a} = \frac{21}{11}$

$a = -\frac{11}{21}$

Полученное значение $a = -\frac{11}{21}$ является отрицательным. Геометрически, для того чтобы значение интеграла $\int_{-1}^a f(x)dx$ было положительным, необходимо, чтобы $-1 < a < 0$, чему удовлетворяет найденное решение.
Ответ: $a = -\frac{11}{21}$.