Номер 21.70, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.70, страница 145.

21.70. a) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 2x - x^2$, касательной к ней в точке $x = 1$ и осью $y$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 2x^2 - 6x$, касательной к ней в точке $x = 1,5$ и осью $y$.

а)

Площадь фигуры ограничена параболой $y = 2x - x^2$, касательной к ней в точке $x_0 = 1$ и осью $y$ (прямой $x=0$).

1. Найдем уравнение касательной.
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
В нашем случае $f(x) = 2x - x^2$ и $x_0 = 1$.
Найдем значение функции в точке касания:
$f(1) = 2(1) - 1^2 = 1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.
Найдем значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной):
$f'(1) = 2 - 2(1) = 0$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot (x - 1)$,
$y = 1$.
Итак, уравнение касательной — это $y_{кас} = 1$.

2. Вычислим площадь фигуры.
Фигура ограничена сверху касательной $y = 1$, снизу параболой $y = 2x - x^2$, слева осью $y$ ($x = 0$) и справа прямой $x = 1$ (абсцисса точки касания).
Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=1$:
$S = \int_{0}^{1} (y_{кас} - f(x)) dx = \int_{0}^{1} (1 - (2x - x^2)) dx = \int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2) dx$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left( x - 2\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{1} = \left( x - x^2 + \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{1}$
$S = \left( 1 - 1^2 + \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - 0^2 + \frac{0^3}{3} \right) = 1 - 1 + \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$.

б)

Площадь фигуры ограничена параболой $y = 2x^2 - 6x$, касательной к ней в точке $x_0 = 1,5$ и осью $y$ (прямой $x=0$).

1. Найдем уравнение касательной.
Общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
В нашем случае $f(x) = 2x^2 - 6x$ и $x_0 = 1,5 = \frac{3}{2}$.
Найдем значение функции в точке касания:
$f(1,5) = 2(1,5)^2 - 6(1,5) = 2(2,25) - 9 = 4,5 - 9 = -4,5$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^2 - 6x)' = 4x - 6$.
Найдем значение производной в точке касания:
$f'(1,5) = 4(1,5) - 6 = 6 - 6 = 0$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -4,5 + 0 \cdot (x - 1,5)$,
$y = -4,5$.
Итак, уравнение касательной — это $y_{кас} = -4,5$.

2. Вычислим площадь фигуры.
Парабола $y = 2x^2 - 6x$ имеет ветви, направленные вверх. Точка касания $x_0 = 1,5$ является абсциссой вершины параболы, где функция принимает минимальное значение. Следовательно, в искомом промежутке от $x=0$ до $x=1,5$ парабола находится выше касательной.
Фигура ограничена сверху параболой $y = 2x^2 - 6x$, снизу касательной $y = -4,5$, слева осью $y$ ($x = 0$) и справа прямой $x = 1,5$.
Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=1,5$:
$S = \int_{0}^{1,5} (f(x) - y_{кас}) dx = \int_{0}^{1,5} ((2x^2 - 6x) - (-4,5)) dx = \int_{0}^{1,5} (2x^2 - 6x + 4,5) dx$.
Вычисляем интеграл, используя $1,5 = \frac{3}{2}$ и $4,5 = \frac{9}{2}$:
$S = \left( 2\frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 4,5x \right) \bigg|_{0}^{1,5} = \left( \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4,5x \right) \bigg|_{0}^{1,5}$
$S = \left( \frac{2}{3}(1,5)^3 - 3(1,5)^2 + 4,5(1,5) \right) - (0)$
$S = \frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2}\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{2}{3}\frac{27}{8} - 3\frac{9}{4} + \frac{27}{4} = \frac{9}{4} - \frac{27}{4} + \frac{27}{4} = \frac{9}{4}$.
$S = 2,25$.

Ответ: $2,25$.