Номер 21.65, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.65, страница 144.

21.65. a) $y = 3 - x^2$, $y = 1 + |x|$;

б) $y = x^2$, $y = 2 - |x|$.

а)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 3 - x^2$ и $y = 1 + |x|$.

1. Анализ функций и поиск точек пересечения.

Функция $y = 3 - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$.

Функция $y = 1 + |x|$ — это график, состоящий из двух лучей, выходящих из точки $(0, 1)$. При $x \ge 0$ это $y = 1 + x$, а при $x < 0$ это $y = 1 - x$.

Обе функции являются четными, так как $f(-x) = f(x)$. Это значит, что искомая фигура симметрична относительно оси OY.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $3 - x^2 = 1 + |x|$. В силу симметрии, достаточно найти решение для $x \ge 0$, где $|x| = x$.

$3 - x^2 = 1 + x$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти, разложив на множители: $(x+2)(x-1) = 0$. Получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нам подходит только корень $x = 1$.

Из-за симметрии вторая точка пересечения будет иметь абсциссу $x = -1$. Таким образом, пределы интегрирования — от $-1$ до $1$.

2. Вычисление площади.

В интервале $(-1, 1)$ график параболы $y = 3 - x^2$ лежит выше графика $y = 1 + |x|$. Например, при $x = 0$, $y_{параболы} = 3$, а $y_{модуля} = 1$.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (1 + |x|)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2 - |x|) dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 2 - x^2 - |x|$ четная, мы можем упростить вычисление, взяв интеграл от $0$ до $1$ и удвоив результат. На этом отрезке $|x|=x$.

$S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) dx$

Найдем первообразную и вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - (0) \right)$

$S = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$

б)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 2 - |x|$.

1. Анализ функций и поиск точек пересечения.

Функция $y = x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$.

Функция $y = 2 - |x|$ — это график, состоящий из двух лучей, выходящих из точки $(0, 2)$, с ветвями, направленными вниз.

Обе функции являются четными, значит, фигура симметрична относительно оси OY.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $x^2 = 2 - |x|$. Рассмотрим случай $x \ge 0$, где $|x| = x$.

$x^2 = 2 - x$

$x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Учитывая условие $x \ge 0$, нам подходит $x = 1$.

В силу симметрии, вторая точка пересечения будет при $x = -1$. Пределы интегрирования — от $-1$ до $1$.

2. Вычисление площади.

В интервале $(-1, 1)$ график функции $y = 2 - |x|$ лежит выше графика параболы $y = x^2$. Например, при $x = 0$, $y_{модуля} = 2$, а $y_{параболы} = 0$.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{1} ((2 - |x|) - x^2) dx$

Подынтегральная функция $f(x) = 2 - |x| - x^2$ является четной, поэтому воспользуемся свойством симметрии:

$S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x - x^2) dx$

Найдем первообразную и вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (0) \right)$

$S = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$