Номер 21.66, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.66, страница 144.

21.66. a) $y = |x^2 - 4|$, $x = 3$, $x = -3$, $y = 0$;

б) $y = |x^2 - 2|x||$, $x = 3$, $x = -3$, $y = 0$.

а) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = |x^2 - 4|$, прямыми $x = 3$, $x = -3$ и осью абсцисс $y = 0$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$. В нашем случае $f(x) = |x^2 - 4|$, $a = -3$, $b = 3$.

$$ S = \int_{-3}^{3} |x^2 - 4| \,dx $$

Для того чтобы раскрыть модуль, определим знаки выражения $x^2 - 4$ на отрезке $[-3, 3]$.

$x^2 - 4 = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.

• При $x \in [-3, -2]$, $x^2 - 4 \ge 0$, следовательно $|x^2 - 4| = x^2 - 4$.
• При $x \in (-2, 2)$, $x^2 - 4 < 0$, следовательно $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.
• При $x \in [2, 3]$, $x^2 - 4 \ge 0$, следовательно $|x^2 - 4| = x^2 - 4$.

Таким образом, интеграл можно разбить на три части:

$$ S = \int_{-3}^{-2} (x^2 - 4) \,dx + \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \,dx $$

Заметим, что функция $y = |x^2 - 4|$ является четной, так как $y(-x) = |(-x)^2 - 4| = |x^2 - 4| = y(x)$, а промежуток интегрирования $[-3, 3]$ симметричен относительно нуля. Это позволяет упростить вычисления:

$$ S = 2 \int_{0}^{3} |x^2 - 4| \,dx = 2 \left( \int_{0}^{2} (4 - x^2) \,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \,dx \right) $$

Вычислим каждый интеграл:

$$ \int_{0}^{2} (4 - x^2) \,dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} $$

$$ \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2 \right) = (9 - 12) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -3 - \left( -\frac{16}{3} \right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3} $$

Теперь найдем общую площадь:

$$ S = 2 \left( \frac{16}{3} + \frac{7}{3} \right) = 2 \cdot \frac{23}{3} = \frac{46}{3} = 15 \frac{1}{3} $$

Ответ: $S = \frac{46}{3}$.

б) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = |x^2 - 2|x||$, прямыми $x = 3$, $x = -3$ и осью абсцисс $y = 0$.

Площадь вычисляется по формуле:

$$ S = \int_{-3}^{3} |x^2 - 2|x|| \,dx $$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда функцию можно переписать в виде $y = ||x|^2 - 2|x||$. Это показывает, что функция является четной, так как замена $x$ на $-x$ не изменяет $|x|$, а значит, и значение функции. Поскольку функция четная, а промежуток интегрирования $[-3, 3]$ симметричен, можно упростить вычисление:

$$ S = 2 \int_{0}^{3} |x^2 - 2|x|| \,dx $$

На промежутке $[0, 3]$ имеем $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$. Функция принимает вид $y = |x^2 - 2x|$.

$$ S = 2 \int_{0}^{3} |x^2 - 2x| \,dx $$

Для раскрытия модуля найдем знаки выражения $x^2 - 2x = x(x-2)$ на отрезке $[0, 3]$.

• При $x \in [0, 2]$, $x^2 - 2x \le 0$, следовательно $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2$.
• При $x \in (2, 3]$, $x^2 - 2x > 0$, следовательно $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$.

Разобьем интеграл на две части:

$$ S = 2 \left( \int_{0}^{2} (2x - x^2) \,dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \,dx \right) $$

Вычислим каждый интеграл:

$$ \int_{0}^{2} (2x - x^2) \,dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} $$

$$ \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 3^2 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) = (9 - 9) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} $$

Теперь найдем общую площадь:

$$ S = 2 \left( \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3} $$

Ответ: $S = \frac{16}{3}$.