Номер 21.60, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.60, страница 143.

21.60. a) $y = 2^x$, $y = 3 - x$, $y = 0$, $x = 0$;

б) $y = 3^x$, $y = 5 - 2x$, $y = 0$, $x = 0$.

а)

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2^x$, $y = 3 - x$, $y = 0$ и $x = 0$, необходимо сначала построить эскиз графиков этих функций и определить границы интегрирования.

1. Анализ границ.
Линии $x=0$ (ось ординат) и $y=0$ (ось абсцисс) задают границы фигуры в первом квадранте. Фигура ограничена снизу осью $y=0$, а слева — осью $x=0$. Верхняя граница фигуры формируется графиками $y=2^x$ и $y=3-x$.

2. Нахождение точки пересечения.
Найдем точку пересечения графиков $y=2^x$ и $y=3-x$, решив уравнение: $2^x = 3 - x$ Методом подбора легко найти, что $x=1$ является решением, так как $2^1 = 2$ и $3 - 1 = 2$. Таким образом, графики пересекаются в точке $(1, 2)$.

3. Определение области интегрирования.
Фигура ограничена осью $x=0$ слева. Прямая $y=3-x$ пересекает ось $y=0$ при $x=3$. Верхняя граница фигуры является составной:

• На отрезке $x \in [0, 1]$ фигура ограничена сверху графиком $y=2^x$.
• На отрезке $x \in [1, 3]$ фигура ограничена сверху графиком $y=3-x$.

Поэтому для вычисления площади $S$ нужно разбить интеграл на две части.

4. Вычисление площади.
Площадь фигуры равна сумме двух интегралов: $S = \int_{0}^{1} 2^x \,dx + \int_{1}^{3} (3-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \int_{0}^{1} 2^x \,dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{2-1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \int_{1}^{3} (3-x) \,dx = \left. \left(3x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{1}^{3} = \left(3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(3 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}\right) = \left(9 - \frac{9}{2}\right) - \left(3 - \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = \frac{1}{\ln 2} + 2$

Ответ: $S = 2 + \frac{1}{\ln 2}$.

б)

Аналогично решим задачу для фигуры, ограниченной линиями $y = 3^x$, $y = 5 - 2x$, $y = 0$ и $x = 0$.

1. Анализ границ.
Фигура расположена в первом квадранте, ограничена осями $x=0$ и $y=0$. Верхняя граница состоит из частей графиков $y=3^x$ и $y=5-2x$.

2. Нахождение точки пересечения.
Найдем точку пересечения графиков $y=3^x$ и $y=5-2x$: $3^x = 5 - 2x$ Подбором находим корень $x=1$, так как $3^1 = 3$ и $5 - 2 \cdot 1 = 3$. Точка пересечения — $(1, 3)$.

3. Определение области интегрирования.
Прямая $y=5-2x$ пересекает ось $y=0$ при $5-2x=0$, то есть $x=2.5$. Верхняя граница фигуры является составной:

• На отрезке $x \in [0, 1]$ фигура ограничена сверху графиком $y=3^x$.
• На отрезке $x \in [1, 2.5]$ фигура ограничена сверху графиком $y=5-2x$.

4. Вычисление площади.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как сумма двух интегралов: $S = \int_{0}^{1} 3^x \,dx + \int_{1}^{2.5} (5-2x) \,dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \int_{0}^{1} 3^x \,dx = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{0}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^0}{\ln 3} = \frac{3-1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3}$

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \int_{1}^{2.5} (5-2x) \,dx = \left. \left(5x - x^2\right) \right|_{1}^{2.5} = \left(5 \cdot 2.5 - (2.5)^2\right) - \left(5 \cdot 1 - 1^2\right) = (12.5 - 6.25) - (5 - 1) = 6.25 - 4 = 2.25 = \frac{9}{4}$

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = \frac{2}{\ln 3} + \frac{9}{4}$

Ответ: $S = \frac{9}{4} + \frac{2}{\ln 3}$.