Номер 21.56, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.56, страница 143.

21.56. а) $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$, $y = e^x$;

б) $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$, $y = e^{-x}$;

в) $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$, $y = e^x$;

г) $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$, $y = e^{-x}$.

а)

Заданная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $y = e^x$, снизу осью абсцисс ($y=0$), и с боков прямыми $x=0$ и $x=3$. Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В данном случае $f(x) = e^x$, $a = 0$ и $b = 3$. Функция $y=e^x$ положительна на отрезке $[0, 3]$, поэтому формула применима.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{0}^{3} e^x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = e^x$ есть $F(x) = e^x$. Подставляем пределы интегрирования: $S = [e^x]_{0}^{3} = F(3) - F(0) = e^3 - e^0 = e^3 - 1$.

Ответ: $e^3 - 1$.

б)

Фигура ограничена линиями $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 4$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, где $f(x) = e^{-x}$, $a=0$, $b=4$. Функция $y = e^{-x}$ положительна на данном отрезке.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{0}^{4} e^{-x} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = e^{-x}$ есть $F(x) = -e^{-x}$. Выполняем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница: $S = [-e^{-x}]_{0}^{4} = F(4) - F(0) = (-e^{-4}) - (-e^{-0}) = -e^{-4} - (-1) = 1 - e^{-4}$.

Ответ: $1 - e^{-4}$.

в)

Фигура ограничена линиями $y = e^x$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 1$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, где $f(x) = e^x$, $a=-1$, $b=1$. Функция $y = e^x$ положительна.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{-1}^{1} e^x \,dx$

Первообразная для $f(x) = e^x$ есть $F(x) = e^x$. $S = [e^x]_{-1}^{1} = F(1) - F(-1) = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$.

Ответ: $e - \frac{1}{e}$.

г)

Фигура ограничена линиями $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = -2$ и $x = 0$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, где $f(x) = e^{-x}$, $a=-2$, $b=0$. Функция $y = e^{-x}$ положительна.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{-2}^{0} e^{-x} \,dx$

Первообразная для $f(x) = e^{-x}$ есть $F(x) = -e^{-x}$. $S = [-e^{-x}]_{-2}^{0} = F(0) - F(-2) = (-e^{-0}) - (-e^{-(-2)}) = -e^0 - (-e^2) = -1 + e^2 = e^2 - 1$.

Ответ: $e^2 - 1$.