Номер 21.52, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.52, страница 142.

21.52. a) $y = 2 \cos 3x - 3 \sin 2x + 6, y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{6}$;

б) $y = 2 \sin 4x + 3 \cos 2x + 7, y = 0, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}$.

а)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2\cos 3x - 3\sin 2x + 6$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{6}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь $S$ фигуры, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу осью абсцисс ($y=0$), и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.В данном случае $f(x) = 2\cos 3x - 3\sin 2x + 6$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{6}$.

Убедимся, что функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[0, \frac{\pi}{6}]$. Так как $-1 \le \cos 3x \le 1$ и $-1 \le \sin 2x \le 1$, то минимальное значение функции можно оценить: $y_{min} \ge 2(-1) - 3(1) + 6 = 1$.Поскольку $f(x) \ge 1 > 0$ на всем отрезке интегрирования, фигура полностью расположена над осью абсцисс, и ее площадь равна интегралу:$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (2\cos 3x - 3\sin 2x + 6) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции:$\int (2\cos 3x - 3\sin 2x + 6) dx = 2 \int \cos 3x dx - 3 \int \sin 2x dx + \int 6 dx$$= 2 \cdot \frac{1}{3}\sin 3x - 3 \cdot (-\frac{1}{2}\cos 2x) + 6x + C = \frac{2}{3}\sin 3x + \frac{3}{2}\cos 2x + 6x + C$.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:$S = \left[ \frac{2}{3}\sin 3x + \frac{3}{2}\cos 2x + 6x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$$= \left( \frac{2}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) + \frac{3}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) + 6 \cdot \frac{\pi}{6} \right) - \left( \frac{2}{3}\sin(0) + \frac{3}{2}\cos(0) + 6 \cdot 0 \right)$$= \left( \frac{2}{3}\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{3}{2}\cos(\frac{\pi}{3}) + \pi \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 1 + 0 \right)$$= \left( \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \pi \right) - \frac{3}{2}$$= \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \pi \right) - \frac{3}{2} = \left( \frac{8}{12} + \frac{9}{12} + \pi \right) - \frac{18}{12} = \frac{17}{12} + \pi - \frac{18}{12} = \pi - \frac{1}{12}$.

Ответ: $S = \pi - \frac{1}{12}$.

б)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2\sin 4x + 3\cos 2x + 7$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$, необходимо вычислить определенный интеграл от функции $f(x) = 2\sin 4x + 3\cos 2x + 7$ в пределах от $a = \frac{\pi}{4}$ до $b = \frac{5\pi}{4}$.$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (2\sin 4x + 3\cos 2x + 7) dx$.

Проверим знак функции на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$. Так как $-1 \le \sin 4x \le 1$ и $-1 \le \cos 2x \le 1$, то минимальное значение функции можно оценить: $y_{min} \ge 2(-1) + 3(-1) + 7 = 2$.Поскольку $f(x) \ge 2 > 0$, фигура полностью расположена над осью абсцисс.

Найдем первообразную для подынтегральной функции:$\int (2\sin 4x + 3\cos 2x + 7) dx = 2 \int \sin 4x dx + 3 \int \cos 2x dx + \int 7 dx$$= 2 \cdot (-\frac{1}{4}\cos 4x) + 3 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + 7x + C = -\frac{1}{2}\cos 4x + \frac{3}{2}\sin 2x + 7x + C$.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:$S = \left[ -\frac{1}{2}\cos 4x + \frac{3}{2}\sin 2x + 7x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$$= \left( -\frac{1}{2}\cos(4 \cdot \frac{5\pi}{4}) + \frac{3}{2}\sin(2 \cdot \frac{5\pi}{4}) + 7 \cdot \frac{5\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) + \frac{3}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 7 \cdot \frac{\pi}{4} \right)$$= \left( -\frac{1}{2}\cos(5\pi) + \frac{3}{2}\sin(\frac{5\pi}{2}) + \frac{35\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(\pi) + \frac{3}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{7\pi}{4} \right)$$= \left( -\frac{1}{2}(-1) + \frac{3}{2}(1) + \frac{35\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2}(-1) + \frac{3}{2}(1) + \frac{7\pi}{4} \right)$$= \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{35\pi}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{7\pi}{4} \right)$$= \left( 2 + \frac{35\pi}{4} \right) - \left( 2 + \frac{7\pi}{4} \right) = 2 + \frac{35\pi}{4} - 2 - \frac{7\pi}{4} = \frac{35\pi - 7\pi}{4} = \frac{28\pi}{4} = 7\pi$.

Ответ: $S = 7\pi$.