Номер 21.46, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.46, страница 141.

21.46. а) $y = \sin x, y = 0, x = \frac{\pi}{2};$

б) $y = \cos 2x, y = 0, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{6};$

в) $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4};$

г) $y = \sin \frac{x}{2}, y = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi.$

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x = \frac{\pi}{2}$. Нижним пределом интегрирования является точка пересечения графика $y = \sin x$ с осью $Ox$, то есть $x = 0$, так как рассматривается область в первой четверти, примыкающая к оси ординат. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($ \sin x \ge 0 $), поэтому площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$

Найдем первообразную для функции $\sin x$. Первообразная равна $-\cos x$. Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1$.

Ответ: 1.

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. Площадь данной фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. На отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ аргумент $2x$ изменяется в пределах от $2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3}$ до $2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. На интервале $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ функция косинус неотрицательна, следовательно $y = \cos 2x \ge 0$ на всем отрезке интегрирования. Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \,dx$

Поскольку функция $y = \cos 2x$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \,dx$

Первообразная для функции $\cos 2x$ равна $\frac{1}{2}\sin 2x$. Вычислим интеграл:

$S = 2 \left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = [\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \sin(2 \cdot 0) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна, так как косинус положителен в IV и I четвертях. Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Функция $y = \cos x$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, поэтому:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$. Вычислим значение интеграла:

$S = 2 [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 \left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0)\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

г)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin\frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \pi$. Пределы интегрирования заданы: от $a = \frac{\pi}{2}$ до $b = \pi$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ аргумент $\frac{x}{2}$ изменяется в пределах от $\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ до $\frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$. На интервале $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ функция синус неотрицательна, значит $y = \sin\frac{x}{2} \ge 0$ на всем отрезке интегрирования. Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin\frac{x}{2} \,dx$

Первообразная для функции $\sin\frac{x}{2}$ равна $-2\cos\frac{x}{2}$. Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[-2\cos\frac{x}{2}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \left(-2\cos\frac{\pi}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right) = \left(-2\cos\frac{\pi}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\pi}{4}\right) = (-2 \cdot 0) - \left(-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.