Номер 21.40, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.40, страница 140.

21.40. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой $v = v(t)$ (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения $(t = 0)$, если:

a) $v(t) = 3t^2 - 4t + 1$;

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t + 1}};$

в) $v(t) = 4t^3 - 6t^2$;

г) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{7t + 4}}$?

Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, можно найти, вычислив определенный интеграл от модуля скорости по времени. Формула для вычисления пути $S$ за время от $t=0$ до $t=3$ секунд выглядит так:

$S = \int_{0}^{3} |v(t)| dt$

Единицы измерения: время $t$ в секундах, скорость $v$ в см/с, путь $S$ в см.

а) $v(t) = 3t^2 - 4t + 1$

Сначала определим, меняет ли функция скорости $v(t)$ знак на интервале $[0, 3]$. Для этого найдем корни уравнения $v(t) = 0$:

$3t^2 - 4t + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Оба корня, $t_1 = 1/3$ и $t_2 = 1$, принадлежат интервалу $[0, 3]$. Это означает, что направление движения точки меняется. График функции $v(t)$ — парабола с ветвями вверх. Следовательно:

• $v(t) \ge 0$ при $t \in [0, 1/3]$
• $v(t) \le 0$ при $t \in [1/3, 1]$
• $v(t) \ge 0$ при $t \in [1, 3]$

Для нахождения общего пути $S$ нужно проинтегрировать модуль скорости, разбив интеграл на три части:

$S = \int_{0}^{3} |3t^2 - 4t + 1| dt = \int_{0}^{1/3} (3t^2 - 4t + 1) dt + \int_{1/3}^{1} -(3t^2 - 4t + 1) dt + \int_{1}^{3} (3t^2 - 4t + 1) dt$

Найдем первообразную для $v(t)$: $P(t) = \int (3t^2 - 4t + 1) dt = t^3 - 2t^2 + t$.

Вычислим значения интегралов:

$S_1 = \int_{0}^{1/3} (3t^2 - 4t + 1) dt = [t^3 - 2t^2 + t]_{0}^{1/3} = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1 - 6 + 9}{27} = \frac{4}{27}$.

$S_2 = \int_{1/3}^{1} |3t^2 - 4t + 1| dt = |\int_{1/3}^{1} (3t^2 - 4t + 1) dt| = |[t^3 - 2t^2 + t]_{1/3}^{1}| = |(1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1) - (\frac{4}{27})| = |0 - \frac{4}{27}| = \frac{4}{27}$.

$S_3 = \int_{1}^{3} (3t^2 - 4t + 1) dt = [t^3 - 2t^2 + t]_{1}^{3} = (3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3) - (1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1) = (27 - 18 + 3) - 0 = 12$.

Полный путь: $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{4}{27} + \frac{4}{27} + 12 = \frac{8}{27} + 12 = 12 \frac{8}{27}$.

Ответ: $12 \frac{8}{27}$ см.

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t + 1}}$

На интервале $[0, 3]$ выражение под корнем $5t+1$ всегда положительно. Значение корня также всегда положительно, поэтому скорость $v(t) > 0$ на всем интервале. Направление движения не меняется.

Путь равен интегралу от функции скорости:

$S = \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{5t+1}} dt = \int_{0}^{3} (5t+1)^{-1/2} dt$.

Найдем первообразную: $\int (5t+1)^{-1/2} dt = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5t+1)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5}\sqrt{5t+1} + C$.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [\frac{2}{5}\sqrt{5t+1}]_{0}^{3} = \frac{2}{5}\sqrt{5 \cdot 3 + 1} - \frac{2}{5}\sqrt{5 \cdot 0 + 1} = \frac{2}{5}\sqrt{16} - \frac{2}{5}\sqrt{1} = \frac{2}{5} \cdot 4 - \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{8}{5} - \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$.

Ответ: $1.2$ см.

в) $v(t) = 4t^3 - 6t^2$

Определим знак скорости на интервале $[0, 3]$. $v(t) = 2t^2(2t - 3)$.

Корни уравнения $v(t)=0$: $t=0$ и $2t-3=0 \Rightarrow t=1.5$.

Корень $t=1.5$ лежит внутри интервала $[0, 3]$. Множитель $2t^2$ неотрицателен, поэтому знак $v(t)$ зависит от знака $(2t-3)$.

• $v(t) \le 0$ при $t \in [0, 1.5]$
• $v(t) \ge 0$ при $t \in [1.5, 3]$

Направление движения меняется в момент $t=1.5$. Путь вычисляется как:

$S = \int_{0}^{3} |4t^3 - 6t^2| dt = \int_{0}^{1.5} -(4t^3 - 6t^2) dt + \int_{1.5}^{3} (4t^3 - 6t^2) dt$.

Найдем первообразную для $v(t)$: $P(t) = \int (4t^3 - 6t^2) dt = t^4 - 2t^3$.

Вычислим значения интегралов:

$S_1 = \int_{0}^{1.5} (6t^2 - 4t^3) dt = [2t^3 - t^4]_{0}^{1.5} = 2(1.5)^3 - (1.5)^4 - 0 = 2(\frac{3}{2})^3 - (\frac{3}{2})^4 = 2 \cdot \frac{27}{8} - \frac{81}{16} = \frac{27}{4} - \frac{81}{16} = \frac{108 - 81}{16} = \frac{27}{16}$.

$S_2 = \int_{1.5}^{3} (4t^3 - 6t^2) dt = [t^4 - 2t^3]_{1.5}^{3} = (3^4 - 2 \cdot 3^3) - ((1.5)^4 - 2(1.5)^3) = (81 - 54) - (\frac{81}{16} - \frac{108}{16}) = 27 - (-\frac{27}{16}) = 27 + \frac{27}{16} = \frac{432+27}{16} = \frac{459}{16}$.

Полный путь: $S = S_1 + S_2 = \frac{27}{16} + \frac{459}{16} = \frac{486}{16} = \frac{243}{8} = 30.375$.

Ответ: $30.375$ см.

г) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{7t+4}}$

На интервале $[0, 3]$ выражение $7t+4$ всегда положительно. Следовательно, скорость $v(t)>0$ на всем интервале и направление движения не меняется.

Путь равен интегралу от функции скорости:

$S = \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{7t+4}} dt = \int_{0}^{3} (7t+4)^{-1/2} dt$.

Найдем первообразную: $\int (7t+4)^{-1/2} dt = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7t+4)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{7}\sqrt{7t+4} + C$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = [\frac{2}{7}\sqrt{7t+4}]_{0}^{3} = \frac{2}{7}\sqrt{7 \cdot 3 + 4} - \frac{2}{7}\sqrt{7 \cdot 0 + 4} = \frac{2}{7}\sqrt{25} - \frac{2}{7}\sqrt{4} = \frac{2}{7} \cdot 5 - \frac{2}{7} \cdot 2 = \frac{10}{7} - \frac{4}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$ см.