Номер 21.42, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.42, страница 141.

21.42. Дан прямолинейный неоднородный стержень $[0; l]$, его плотность в точке $x$ определяется по формуле $\rho = \rho(x)$.

Найдите массу стержня, если:

а) $\rho(x) = x^2 + x + 1, l = 6;$

б) $\rho(x) = \frac{1}{(x + 3)^2}, l = 3;$

в) $\rho(x) = -x^2 + 6x, l = 2;$

г) $\rho(x) = \frac{1}{(2x + 1)^2}, l = 1.$

Масса неоднородного прямолинейного стержня на отрезке $[0; l]$ с переменной плотностью $\rho(x)$ вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:

$m = \int_0^l \rho(x)dx$

Найдем массу стержня для каждого из заданных случаев.

а) Дано $\rho(x) = x^2 + x + 1$ и $l = 6$.

Масса стержня равна интегралу от плотности по длине стержня от 0 до 6:

$m = \int_0^6 (x^2 + x + 1)dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница $m = F(l) - F(0)$:

$m = \left(\frac{6^3}{3} + \frac{6^2}{2} + 6\right) - \left(\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0\right) = \left(\frac{216}{3} + \frac{36}{2} + 6\right) - 0 = (72 + 18 + 6) = 96$

Ответ: 96

б) Дано $\rho(x) = \frac{1}{(x + 3)^2}$ и $l = 3$.

Масса стержня равна:

$m = \int_0^3 \frac{1}{(x + 3)^2}dx = \int_0^3 (x+3)^{-2}dx$

Найдем первообразную. Для функции вида $(ax+b)^n$ первообразная равна $\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$. В нашем случае $a=1, b=3, n=-2$.

$F(x) = \frac{(x+3)^{-2+1}}{1 \cdot (-2+1)} = \frac{(x+3)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+3}$

Вычислим определенный интеграл:

$m = F(3) - F(0) = \left(-\frac{1}{3+3}\right) - \left(-\frac{1}{0+3}\right) = -\frac{1}{6} - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

в) Дано $\rho(x) = -x^2 + 6x$ и $l = 2$.

Масса стержня равна:

$m = \int_0^2 (-x^2 + 6x)dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 3x^2$

Вычислим определенный интеграл:

$m = F(2) - F(0) = \left(-\frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2\right) = \left(-\frac{8}{3} + 3 \cdot 4\right) - 0 = -\frac{8}{3} + 12 = -\frac{8}{3} + \frac{36}{3} = \frac{28}{3}$

Ответ: $\frac{28}{3}$

г) Дано $\rho(x) = \frac{1}{(2x + 1)^2}$ и $l = 1$.

Масса стержня равна:

$m = \int_0^1 \frac{1}{(2x + 1)^2}dx = \int_0^1 (2x+1)^{-2}dx$

Найдем первообразную. В данном случае $a=2, b=1, n=-2$.

$F(x) = \frac{(2x+1)^{-2+1}}{2 \cdot (-2+1)} = \frac{(2x+1)^{-1}}{-2} = -\frac{1}{2(2x+1)}$

Вычислим определенный интеграл:

$m = F(1) - F(0) = \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 1 + 1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 0 + 1)}\right) = \left(-\frac{1}{2 \cdot 3}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1}\right) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$