Номер 21.49, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.49, страница 142.

21.49. a) $y = 1 - x^2$, $y = -x - 1$;

б) $y = x^2 - 3x + 2$, $y = x - 1$;

в) $y = x^2 - 1$, $y = 2x + 2$;

г) $y = -x^2 + 2x + 3$, $y = 3 - x$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий, а затем вычислить определенный интеграл разности функций.

а)

Даны функции $y = 1 - x^2$ и $y = -x - 1$.

1. Найдем точки пересечения графиков, приравняв их уравнения:

$1 - x^2 = -x - 1$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это будут пределы интегрирования.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 0$:

$y_1(0) = 1 - 0^2 = 1$

$y_2(0) = -0 - 1 = -1$

Так как $1 > -1$, на интервале $[-1, 2]$ график функции $y = 1 - x^2$ находится выше графика функции $y = -x - 1$.

3. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{2} ((1 - x^2) - (-x - 1)) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

4. Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{5}{6} - 2 \right) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

б)

Даны функции $y = x^2 - 3x + 2$ и $y = x - 1$.

1. Найдем точки пересечения:

$x^2 - 3x + 2 = x - 1$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(1, 3)$. Возьмем пробную точку $x = 2$:

$y_1(2) = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

$y_2(2) = 2 - 1 = 1$

Так как $1 > 0$, на интервале $[1, 3]$ график функции $y = x - 1$ находится выше графика $y = x^2 - 3x + 2$.

3. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{1}^{3} ((x - 1) - (x^2 - 3x + 2)) dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

4. Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \right|_{1}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right)$

$S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

в)

Даны функции $y = x^2 - 1$ и $y = 2x + 2$.

1. Найдем точки пересечения:

$x^2 - 1 = 2x + 2$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 3)$. Возьмем пробную точку $x = 0$:

$y_1(0) = 0^2 - 1 = -1$

$y_2(0) = 2(0) + 2 = 2$

Так как $2 > -1$, на интервале $[-1, 3]$ график функции $y = 2x + 2$ находится выше графика $y = x^2 - 1$.

3. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{3} ((2x + 2) - (x^2 - 1)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

4. Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right) \right|_{-1}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right)$

$S = (-9 + 9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = 9 - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

г)

Даны функции $y = -x^2 + 2x + 3$ и $y = 3 - x$.

1. Найдем точки пересечения:

$-x^2 + 2x + 3 = 3 - x$

$-x^2 + 3x = 0$

$x(-x + 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

2. Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 3)$. Возьмем пробную точку $x = 1$:

$y_1(1) = -1^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$

$y_2(1) = 3 - 1 = 2$

Так как $4 > 2$, на интервале $[0, 3]$ график функции $y = -x^2 + 2x + 3$ находится выше графика $y = 3 - x$.

3. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{3} ((-x^2 + 2x + 3) - (3 - x)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

4. Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \right|_{0}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - (0)$

$S = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5