Номер 21.50, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.50, страница 142.

21.50. a) $y = x^2 - 4x$, $y = -(x - 4)^2$;

б) $y = x^2 + 2x - 3$, $y = -x^2 + 2x + 5$;

в) $y = x^2 - 6x + 9$, $y = (x + 1)(3 - x)$;

г) $y = x^2 - 4x + 3$, $y = -x^2 + 6x - 5$.

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x$ и $y = -(x - 4)^2$, нужно приравнять их правые части.

$x^2 - 4x = -(x - 4)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности:

$x^2 - 4x = -(x^2 - 8x + 16)$

$x^2 - 4x = -x^2 + 8x - 16$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x^2 - 4x - 8x + 16 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно решить разложением на множители. Ищем два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4. Тогда корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в одно из исходных уравнений, например, в $y = x^2 - 4x$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Первая точка пересечения: $(2, -4)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Вторая точка пересечения: $(4, 0)$.

Ответ: $(2, -4)$, $(4, 0)$.

б)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = -x^2 + 2x + 5$, приравняем их правые части.

$x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2x + 5$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 + x^2 + 2x - 2x - 3 - 5 = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x^2 + 2x - 3$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$

Первая точка пересечения: $(2, 5)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$

Вторая точка пересечения: $(-2, -3)$.

Ответ: $(2, 5)$, $(-2, -3)$.

в)

Даны функции $y = x^2 - 6x + 9$ и $y = (x + 1)(3 - x)$.

Сначала преобразуем оба выражения. Первое является полным квадратом, а во втором раскроем скобки:

$y = (x - 3)^2$

$y = 3x - x^2 + 3 - x = -x^2 + 2x + 3$

Приравняем правые части исходных уравнений:

$x^2 - 6x + 9 = -x^2 + 2x + 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x^2 - 6x - 2x + 9 - 3 = 0$

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x^2 - 6x + 9$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 - 6 \cdot 1 + 9 = 1 - 6 + 9 = 4$

Первая точка пересечения: $(1, 4)$.

Для $x_2 = 3$:

$y_2 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$

Вторая точка пересечения: $(3, 0)$.

Ответ: $(1, 4)$, $(3, 0)$.

г)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = -x^2 + 6x - 5$, приравняем их правые части.

$x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 6x - 5$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные:

$x^2 + x^2 - 4x - 6x + 3 + 5 = 0$

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x^2 - 4x + 3$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

Первая точка пересечения: $(1, 0)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

Вторая точка пересечения: $(4, 3)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(4, 3)$.