Номер 21.54, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.54, страница 143.

21.54. a) $y = \sqrt{x}$, $y = -2\sqrt{x}$, $x = 4$;

б) $y = 2\sqrt{x}$, $y = -\sqrt{x}$, $x = 9$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$, $y = -2\sqrt{x}$ и $x = 4$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена слева точкой пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = -2\sqrt{x}$. Их ординаты равны только при $x = 0$. Справа фигура ограничена вертикальной прямой $x = 4$. Таким образом, пределы интегрирования от $a=0$ до $b=4$.

На отрезке $[0, 4]$ функция $f(x) = \sqrt{x}$ принимает неотрицательные значения, а функция $g(x) = -2\sqrt{x}$ — неположительные. Следовательно, для любого $x$ из данного интервала график $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика $y = -2\sqrt{x}$.

Площадь $S$ фигуры, ограниченной кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ ($f(x) \ge g(x)$) и прямыми $x=a$, $x=b$, вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \,dx$

Подставляем наши функции и пределы интегрирования:

$S = \int_0^4 (\sqrt{x} - (-2\sqrt{x})) \,dx = \int_0^4 (\sqrt{x} + 2\sqrt{x}) \,dx = \int_0^4 3\sqrt{x} \,dx$

Выносим константу за знак интеграла и представляем корень как степень:

$S = 3 \int_0^4 x^{1/2} \,dx$

Находим первообразную для $x^{1/2}$. Она равна $\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = 3 \cdot \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_0^4 = 2 \cdot \left. x^{3/2} \right|_0^4 = 2 \cdot (4^{3/2} - 0^{3/2})$

Вычисляем значение $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

$S = 2 \cdot (8 - 0) = 16$.

Ответ: 16.

б)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2\sqrt{x}$, $y = -\sqrt{x}$ и $x = 9$, поступим аналогично. Фигура ограничена слева точкой пересечения графиков при $x = 0$ и справа прямой $x = 9$. Пределы интегрирования от $a=0$ до $b=9$.

На отрезке $[0, 9]$ график функции $f(x) = 2\sqrt{x}$ расположен выше графика функции $g(x) = -\sqrt{x}$, так как $f(x) = 2\sqrt{x} \ge 0$, а $g(x) = -\sqrt{x} \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Площадь $S$ вычисляется по той же формуле:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \,dx$

Подставляем наши функции и пределы интегрирования:

$S = \int_0^9 (2\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) \,dx = \int_0^9 (2\sqrt{x} + \sqrt{x}) \,dx = \int_0^9 3\sqrt{x} \,dx$

Выносим константу и вычисляем интеграл, используя ту же первообразную:

$S = 3 \int_0^9 x^{1/2} \,dx = 3 \cdot \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_0^9 = 2 \cdot \left. x^{3/2} \right|_0^9$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = 2 \cdot (9^{3/2} - 0^{3/2})$

Вычисляем значение $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$.

$S = 2 \cdot (27 - 0) = 54$.

Ответ: 54.