Номер 21.51, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.51, страница 142.

21.51. a) $y = \cos x$, $y = -x$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \sin 2x$, $y = x - \frac{\pi}{2}$, $x = 0$;

в) $y = \sin x$, $y = -x$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

г) $y = \cos \frac{x}{2}$, $y = x - \pi$, $x = 0$.

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = -x$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на заданном промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$, значения функции $y = \cos x$ неотрицательны, т.е. $\cos x \ge 0$. Значения функции $y = -x$ на этом же отрезке для $x \ge 0$ не положительны, т.е. $-x \le 0$. Следовательно, на всем промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\cos x \ge -x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - (-x)) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + x) dx$.

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \sin x + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2}\right) - \left(\sin(0) + \frac{0^2}{2}\right) = \left(1 + \frac{\pi^2/4}{2}\right) - (0 + 0) = 1 + \frac{\pi^2}{8}$.

Ответ: $1 + \frac{\pi^2}{8}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = \sin 2x$, $y = x - \frac{\pi}{2}$ и $x = 0$. Чтобы найти правую границу интегрирования, найдем точку пересечения графиков функций $y = \sin 2x$ и $y = x - \frac{\pi}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$: $y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi) = 0$ и $y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$. Значит, графики пересекаются в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ имеем $2x \in (0, \pi)$, поэтому $\sin 2x > 0$. В то же время, $x - \frac{\pi}{2} < 0$. Следовательно, на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin 2x \ge x - \frac{\pi}{2}$.

Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin 2x - \left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin 2x - x + \frac{\pi}{2}\right) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2}x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} + \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0) - \frac{0^2}{2} + \frac{\pi}{2}\cdot 0\right) = \left(-\frac{1}{2}(-1) - \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{8}\right) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\pi^2}{8}$.

Ответ: $1 + \frac{\pi^2}{8}$.

в) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = -x$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$, сравним функции на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$, значения функции $y = \sin x$ неотрицательны, т.е. $\sin x \ge 0$. Значения функции $y = -x$ на этом же отрезке не положительны, т.е. $-x \le 0$. Таким образом, на промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ справедливо неравенство $\sin x \ge -x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - (-x)) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + x) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\cos x + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2}\right) - \left(-\cos(0) + \frac{0^2}{2}\right) = \left(0 + \frac{\pi^2/4}{2}\right) - (-1 + 0) = \frac{\pi^2}{8} + 1$.

Ответ: $1 + \frac{\pi^2}{8}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = \cos\frac{x}{2}$, $y = x - \pi$ и $x = 0$. Найдем правую границу интегрирования, определив точку пересечения графиков функций $y = \cos\frac{x}{2}$ и $y = x - \pi$.

При $x = \pi$ имеем: $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $y = \pi - \pi = 0$. Следовательно, графики пересекаются в точке $x = \pi$. Интегрировать будем по отрезку $[0, \pi]$.

На интервале $(0, \pi)$ имеем $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$, поэтому $\cos\frac{x}{2} > 0$. В то же время, $x - \pi < 0$. Значит, на отрезке $[0, \pi]$ выполняется неравенство $\cos\frac{x}{2} \ge x - \pi$.

Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2} - (x - \pi)\right) dx = \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2} - x + \pi\right) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2\sin\frac{x}{2} - \frac{x^2}{2} + \pi x \right]_{0}^{\pi} = \left(2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi^2}{2} + \pi \cdot \pi\right) - \left(2\sin(0) - \frac{0^2}{2} + \pi \cdot 0\right) = \left(2 \cdot 1 - \frac{\pi^2}{2} + \pi^2\right) - (0) = 2 + \frac{\pi^2}{2}$.

Ответ: $2 + \frac{\pi^2}{2}$.