Номер 21.45, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.45, страница 141.

21.45. а) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$;

в) $y = -\frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = -3$;

г) $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 4$.

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Если $f(x) < 0$ на отрезке $[a, b]$, то площадь равна $S = -\int_{a}^{b} f(x) dx$.

а) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$.

На отрезке $[1, 2]$ функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна, поэтому площадь фигуры равна:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-2}$:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(1) = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$.

На отрезке $[1, 9]$ функция $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ положительна, поэтому площадь фигуры равна:

$S = \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/2}$:

$F(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$

Вычислим определенный интеграл:

$S = F(9) - F(1) = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4$

Ответ: $4$

в) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = -3$.

Пределы интегрирования $a = -3$ и $b = -1$. На отрезке $[-3, -1]$ функция $y = -\frac{1}{x^2}$ отрицательна (график расположен под осью Ox). Площадь фигуры можно найти как интеграл от модуля функции или как интеграл от разности верхней и нижней границ ($y=0$ и $y = -\frac{1}{x^2}$).

$S = \int_{-3}^{-1} \left(0 - \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right) dx = \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x^2} dx$

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ была найдена в пункте а): $F(x) = -\frac{1}{x}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = F(-1) - F(-3) = \left(-\frac{1}{-1}\right) - \left(-\frac{1}{-3}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 4$.

На отрезке $[1, 4]$ функция $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$ положительна, поэтому площадь фигуры равна:

$S = \int_{1}^{4} \frac{2}{\sqrt{x}} dx$

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = 2x^{-1/2}$:

$F(x) = \int 2x^{-1/2} dx = 2 \int x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x}$

Вычислим определенный интеграл:

$S = F(4) - F(1) = 4\sqrt{4} - 4\sqrt{1} = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 8 - 4 = 4$

Ответ: $4$