Номер 21.47, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.47, страница 142.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

21.47. а) $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = 1 - \sin 2x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \pi$;

в) $y = 1 + 2 \sin x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

г) $y = 2 \cos \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = a$ и $x = b$, используется формула определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Эта формула справедлива, если $f(x) \ge 0$ для всех $x$ на отрезке $[a, b]$.

а) $y = 1 + \frac{1}{2}\cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$

Функция $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x$. Пределы интегрирования $a = -\frac{\pi}{2}$ и $b = \frac{\pi}{2}$.
На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos x$ принимает значения от $0$ до $1$. Следовательно, $\frac{1}{2}\cos x$ принимает значения от $0$ до $\frac{1}{2}$.
Таким образом, $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x \ge 1 + 0 = 1$, то есть функция неотрицательна на данном отрезке.
Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \frac{1}{2}\cos x) \,dx = \left[x + \frac{1}{2}\sin x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$

$= \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot (-1)\right) = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \pi + 1$

Ответ: $\pi + 1$

б) $y = 1 - \sin 2x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \pi$

Функция $f(x) = 1 - \sin 2x$. Пределы интегрирования $a = 0$ и $b = \pi$.
На отрезке $[0, \pi]$ переменная $2x$ пробегает значения от $0$ до $2\pi$. На этом интервале $\sin 2x$ принимает значения от $-1$ до $1$.
Следовательно, $f(x) = 1 - \sin 2x \ge 1 - 1 = 0$, то есть функция неотрицательна на данном отрезке.
Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{\pi} (1 - \sin 2x) \,dx = \left[x - \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)\right]_{0}^{\pi} = \left[x + \frac{1}{2}\cos 2x\right]_{0}^{\pi}$

$= \left(\pi + \frac{1}{2}\cos(2\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\cos(0)\right) = \left(\pi + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(0 + \frac{1}{2} \cdot 1\right) = \pi + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \pi$

Ответ: $\pi$

в) $y = 1 + 2\sin x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$

Функция $f(x) = 1 + 2\sin x$. Пределы интегрирования $a = 0$ и $b = \frac{\pi}{2}$.
На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin x$ принимает значения от $0$ до $1$.
Следовательно, $f(x) = 1 + 2\sin x \ge 1 + 2 \cdot 0 = 1$, то есть функция неотрицательна на данном отрезке.
Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + 2\sin x) \,dx = \left[x - 2\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \left(\frac{\pi}{2} - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (0 - 2\cos(0)) = \left(\frac{\pi}{2} - 2 \cdot 0\right) - (0 - 2 \cdot 1) = \frac{\pi}{2} - (-2) = \frac{\pi}{2} + 2$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2$

г) $y = 2\cos \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$

Функция $f(x) = 2\cos \frac{x}{2}$. Пределы интегрирования $a = 0$ и $b = \frac{2\pi}{3}$.
На отрезке $[0, \frac{2\pi}{3}]$ переменная $\frac{x}{2}$ пробегает значения от $0$ до $\frac{\pi}{3}$. На этом интервале $\cos(\frac{x}{2})$ принимает значения от $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$ до $\cos(0)=1$.
Следовательно, $f(x) = 2\cos \frac{x}{2} > 0$, то есть функция положительна на данном отрезке.
Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} 2\cos \frac{x}{2} \,dx = \left[2 \cdot \frac{\sin(x/2)}{1/2}\right]_{0}^{\frac{2\pi}{3}} = \left[4\sin \frac{x}{2}\right]_{0}^{\frac{2\pi}{3}}$

$= 4\sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}\right) - 4\sin\left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 4\sin(0) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$