Страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

21.47. а) $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = 1 - \sin 2x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \pi$;

в) $y = 1 + 2 \sin x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

г) $y = 2 \cos \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = a$ и $x = b$, используется формула определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Эта формула справедлива, если $f(x) \ge 0$ для всех $x$ на отрезке $[a, b]$.

а) $y = 1 + \frac{1}{2}\cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$

Функция $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x$. Пределы интегрирования $a = -\frac{\pi}{2}$ и $b = \frac{\pi}{2}$.
На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos x$ принимает значения от $0$ до $1$. Следовательно, $\frac{1}{2}\cos x$ принимает значения от $0$ до $\frac{1}{2}$.
Таким образом, $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x \ge 1 + 0 = 1$, то есть функция неотрицательна на данном отрезке.
Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \frac{1}{2}\cos x) \,dx = \left[x + \frac{1}{2}\sin x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$

$= \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot (-1)\right) = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \pi + 1$

Ответ: $\pi + 1$

б) $y = 1 - \sin 2x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \pi$

Функция $f(x) = 1 - \sin 2x$. Пределы интегрирования $a = 0$ и $b = \pi$.
На отрезке $[0, \pi]$ переменная $2x$ пробегает значения от $0$ до $2\pi$. На этом интервале $\sin 2x$ принимает значения от $-1$ до $1$.
Следовательно, $f(x) = 1 - \sin 2x \ge 1 - 1 = 0$, то есть функция неотрицательна на данном отрезке.
Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{\pi} (1 - \sin 2x) \,dx = \left[x - \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)\right]_{0}^{\pi} = \left[x + \frac{1}{2}\cos 2x\right]_{0}^{\pi}$

$= \left(\pi + \frac{1}{2}\cos(2\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\cos(0)\right) = \left(\pi + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(0 + \frac{1}{2} \cdot 1\right) = \pi + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \pi$

Ответ: $\pi$

в) $y = 1 + 2\sin x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$

Функция $f(x) = 1 + 2\sin x$. Пределы интегрирования $a = 0$ и $b = \frac{\pi}{2}$.
На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin x$ принимает значения от $0$ до $1$.
Следовательно, $f(x) = 1 + 2\sin x \ge 1 + 2 \cdot 0 = 1$, то есть функция неотрицательна на данном отрезке.
Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + 2\sin x) \,dx = \left[x - 2\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \left(\frac{\pi}{2} - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (0 - 2\cos(0)) = \left(\frac{\pi}{2} - 2 \cdot 0\right) - (0 - 2 \cdot 1) = \frac{\pi}{2} - (-2) = \frac{\pi}{2} + 2$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2$

г) $y = 2\cos \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$

Функция $f(x) = 2\cos \frac{x}{2}$. Пределы интегрирования $a = 0$ и $b = \frac{2\pi}{3}$.
На отрезке $[0, \frac{2\pi}{3}]$ переменная $\frac{x}{2}$ пробегает значения от $0$ до $\frac{\pi}{3}$. На этом интервале $\cos(\frac{x}{2})$ принимает значения от $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$ до $\cos(0)=1$.
Следовательно, $f(x) = 2\cos \frac{x}{2} > 0$, то есть функция положительна на данном отрезке.
Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} 2\cos \frac{x}{2} \,dx = \left[2 \cdot \frac{\sin(x/2)}{1/2}\right]_{0}^{\frac{2\pi}{3}} = \left[4\sin \frac{x}{2}\right]_{0}^{\frac{2\pi}{3}}$

$= 4\sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}\right) - 4\sin\left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 4\sin(0) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

21.48. а) $y = x, y = -0,5x + 5, x = -1, x = 3;$

б) $y = 2x, y = x - 2, x = 4;$

в) $y = -x, y = 3 - \frac{x}{4}, x = -2, x = 1;$

г) $y = 1 - x, y = 3 - 2x, x = 0.$

а)

Фигура ограничена прямыми $y = x$, $y = -0,5x + 5$, $x = -1$ и $x = 3$. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы вычислим определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая — нижней на промежутке $[-1, 3]$.

Сравним значения функций, например, в точке $x = 0$, которая принадлежит интервалу $[-1, 3]$:

$y_1 = x \Rightarrow y_1(0) = 0$

$y_2 = -0,5x + 5 \Rightarrow y_2(0) = 5$

Так как $5 > 0$, функция $y = -0,5x + 5$ является верхней, а $y = x$ — нижней на данном промежутке. Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (y_{верх}(x) - y_{нижн}(x)) dx$

Подставим наши функции и пределы интегрирования:

$S = \int_{-1}^{3} ((-0,5x + 5) - x) dx = \int_{-1}^{3} (5 - 1,5x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 5x - 1,5 \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{3} = \left[ 5x - 0,75x^2 \right]_{-1}^{3} = (5 \cdot 3 - 0,75 \cdot 3^2) - (5 \cdot (-1) - 0,75 \cdot (-1)^2) = (15 - 0,75 \cdot 9) - (-5 - 0,75) = (15 - 6,75) - (-5,75) = 8,25 + 5,75 = 14$

Ответ: 14

б)

Фигура ограничена прямыми $y = 2x$, $y = x - 2$ и $x = 4$. Чтобы найти площадь замкнутой фигуры, сначала найдем точку пересечения прямых $y = 2x$ и $y = x - 2$, которая определит левую границу интегрирования.

$2x = x - 2 \Rightarrow x = -2$

Таким образом, интегрирование будет производиться на промежутке $[-2, 4]$. Сравним функции на этом промежутке, чтобы определить верхнюю и нижнюю кривые. Возьмем разность функций:

$2x - (x - 2) = x + 2$

На промежутке $[-2, 4]$ выражение $x+2 \geq 0$, следовательно, функция $y = 2x$ является верхней, а $y = x - 2$ — нижней.

Вычислим площадь фигуры:

$S = \int_{-2}^{4} (2x - (x - 2)) dx = \int_{-2}^{4} (x + 2) dx$

$S = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{4} = (\frac{4^2}{2} + 2 \cdot 4) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)) = (\frac{16}{2} + 8) - (\frac{4}{2} - 4) = (8 + 8) - (2 - 4) = 16 - (-2) = 18$

Ответ: 18

в)

Фигура ограничена прямыми $y = -x$, $y = 3 - \frac{x}{4}$, $x = -2$ и $x = 1$. Промежуток интегрирования задан: $[-2, 1]$. Определим, какая из функций является верхней. Сравним их, взяв разность:

$(3 - \frac{x}{4}) - (-x) = 3 - \frac{x}{4} + x = 3 + \frac{3}{4}x$

Проверим знак этого выражения на промежутке $[-2, 1]$. В точке $x = -2$ выражение равно $3 + \frac{3}{4}(-2) = 3 - 1,5 = 1,5 > 0$. В точке $x=1$ выражение равно $3 + \frac{3}{4}(1) = 3,75 > 0$. Точка пересечения прямых $3 - \frac{x}{4} = -x \Rightarrow 3 = -\frac{3}{4}x \Rightarrow x = -4$. Так как $-4$ не входит в промежуток $[-2, 1]$, знак разности на нем постоянен. Следовательно, функция $y = 3 - \frac{x}{4}$ является верхней, а $y = -x$ — нижней.

Вычислим площадь фигуры:

$S = \int_{-2}^{1} ((3 - \frac{x}{4}) - (-x)) dx = \int_{-2}^{1} (3 + \frac{3}{4}x) dx$

$S = \left[ 3x + \frac{3}{4} \cdot \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} = \left[ 3x + \frac{3x^2}{8} \right]_{-2}^{1} = (3 \cdot 1 + \frac{3 \cdot 1^2}{8}) - (3 \cdot (-2) + \frac{3 \cdot (-2)^2}{8}) = (3 + \frac{3}{8}) - (-6 + \frac{3 \cdot 4}{8}) = \frac{27}{8} - (-6 + \frac{3}{2}) = \frac{27}{8} - (-\frac{12}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{27}{8} - (-\frac{9}{2}) = \frac{27}{8} + \frac{36}{8} = \frac{63}{8}$

Ответ: $\frac{63}{8}$

г)

Фигура ограничена прямыми $y = 1 - x$, $y = 3 - 2x$ и $x = 0$. Правая граница интегрирования определяется точкой пересечения прямых $y = 1 - x$ и $y = 3 - 2x$.

$1 - x = 3 - 2x \Rightarrow 2x - x = 3 - 1 \Rightarrow x = 2$

Промежуток интегрирования — $[0, 2]$. Определим верхнюю и нижнюю функции на этом промежутке, рассмотрев их разность:

$(3 - 2x) - (1 - x) = 2 - x$

На промежутке $[0, 2]$ выражение $2 - x \geq 0$, значит, функция $y = 3 - 2x$ является верхней, а $y = 1 - x$ — нижней.

Вычислим площадь фигуры:

$S = \int_{0}^{2} ((3 - 2x) - (1 - x)) dx = \int_{0}^{2} (2 - x) dx$

$S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = (2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) = (4 - \frac{4}{2}) - 0 = 4 - 2 = 2$

Ответ: 2

21.49. a) $y = 1 - x^2$, $y = -x - 1$;

б) $y = x^2 - 3x + 2$, $y = x - 1$;

в) $y = x^2 - 1$, $y = 2x + 2$;

г) $y = -x^2 + 2x + 3$, $y = 3 - x$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий, а затем вычислить определенный интеграл разности функций.

21.50. a) $y = x^2 - 4x$, $y = -(x - 4)^2$;

б) $y = x^2 + 2x - 3$, $y = -x^2 + 2x + 5$;

в) $y = x^2 - 6x + 9$, $y = (x + 1)(3 - x)$;

г) $y = x^2 - 4x + 3$, $y = -x^2 + 6x - 5$.

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x$ и $y = -(x - 4)^2$, нужно приравнять их правые части.

$x^2 - 4x = -(x - 4)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности:

$x^2 - 4x = -(x^2 - 8x + 16)$

$x^2 - 4x = -x^2 + 8x - 16$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x^2 - 4x - 8x + 16 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно решить разложением на множители. Ищем два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4. Тогда корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в одно из исходных уравнений, например, в $y = x^2 - 4x$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

Первая точка пересечения: $(2, -4)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4^2 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Вторая точка пересечения: $(4, 0)$.

Ответ: $(2, -4)$, $(4, 0)$.

б)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = -x^2 + 2x + 5$, приравняем их правые части.

$x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2x + 5$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 + x^2 + 2x - 2x - 3 - 5 = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x^2 + 2x - 3$.

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 + 2 \cdot 2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$

Первая точка пересечения: $(2, 5)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$

Вторая точка пересечения: $(-2, -3)$.

Ответ: $(2, 5)$, $(-2, -3)$.

в)

Даны функции $y = x^2 - 6x + 9$ и $y = (x + 1)(3 - x)$.

Сначала преобразуем оба выражения. Первое является полным квадратом, а во втором раскроем скобки:

$y = (x - 3)^2$

$y = 3x - x^2 + 3 - x = -x^2 + 2x + 3$

Приравняем правые части исходных уравнений:

$x^2 - 6x + 9 = -x^2 + 2x + 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x^2 - 6x - 2x + 9 - 3 = 0$

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x^2 - 6x + 9$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 - 6 \cdot 1 + 9 = 1 - 6 + 9 = 4$

Первая точка пересечения: $(1, 4)$.

Для $x_2 = 3$:

$y_2 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$

Вторая точка пересечения: $(3, 0)$.

Ответ: $(1, 4)$, $(3, 0)$.

г)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = -x^2 + 6x - 5$, приравняем их правые части.

$x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 6x - 5$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные:

$x^2 + x^2 - 4x - 6x + 3 + 5 = 0$

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y = x^2 - 4x + 3$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

Первая точка пересечения: $(1, 0)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

Вторая точка пересечения: $(4, 3)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(4, 3)$.

21.51. a) $y = \cos x$, $y = -x$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \sin 2x$, $y = x - \frac{\pi}{2}$, $x = 0$;

в) $y = \sin x$, $y = -x$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

г) $y = \cos \frac{x}{2}$, $y = x - \pi$, $x = 0$.

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = -x$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на заданном промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$, значения функции $y = \cos x$ неотрицательны, т.е. $\cos x \ge 0$. Значения функции $y = -x$ на этом же отрезке для $x \ge 0$ не положительны, т.е. $-x \le 0$. Следовательно, на всем промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\cos x \ge -x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - (-x)) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + x) dx$.

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \sin x + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2}\right) - \left(\sin(0) + \frac{0^2}{2}\right) = \left(1 + \frac{\pi^2/4}{2}\right) - (0 + 0) = 1 + \frac{\pi^2}{8}$.

Ответ: $1 + \frac{\pi^2}{8}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = \sin 2x$, $y = x - \frac{\pi}{2}$ и $x = 0$. Чтобы найти правую границу интегрирования, найдем точку пересечения графиков функций $y = \sin 2x$ и $y = x - \frac{\pi}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$: $y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi) = 0$ и $y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$. Значит, графики пересекаются в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ имеем $2x \in (0, \pi)$, поэтому $\sin 2x > 0$. В то же время, $x - \frac{\pi}{2} < 0$. Следовательно, на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin 2x \ge x - \frac{\pi}{2}$.

Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin 2x - \left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin 2x - x + \frac{\pi}{2}\right) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2}x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} + \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0) - \frac{0^2}{2} + \frac{\pi}{2}\cdot 0\right) = \left(-\frac{1}{2}(-1) - \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{8}\right) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\pi^2}{8}$.

Ответ: $1 + \frac{\pi^2}{8}$.

в) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = -x$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$, сравним функции на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$, значения функции $y = \sin x$ неотрицательны, т.е. $\sin x \ge 0$. Значения функции $y = -x$ на этом же отрезке не положительны, т.е. $-x \le 0$. Таким образом, на промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ справедливо неравенство $\sin x \ge -x$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - (-x)) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + x) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\cos x + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2}\right) - \left(-\cos(0) + \frac{0^2}{2}\right) = \left(0 + \frac{\pi^2/4}{2}\right) - (-1 + 0) = \frac{\pi^2}{8} + 1$.

Ответ: $1 + \frac{\pi^2}{8}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = \cos\frac{x}{2}$, $y = x - \pi$ и $x = 0$. Найдем правую границу интегрирования, определив точку пересечения графиков функций $y = \cos\frac{x}{2}$ и $y = x - \pi$.

При $x = \pi$ имеем: $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $y = \pi - \pi = 0$. Следовательно, графики пересекаются в точке $x = \pi$. Интегрировать будем по отрезку $[0, \pi]$.

На интервале $(0, \pi)$ имеем $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$, поэтому $\cos\frac{x}{2} > 0$. В то же время, $x - \pi < 0$. Значит, на отрезке $[0, \pi]$ выполняется неравенство $\cos\frac{x}{2} \ge x - \pi$.

Площадь фигуры $S$ равна:

$S = \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2} - (x - \pi)\right) dx = \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2} - x + \pi\right) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2\sin\frac{x}{2} - \frac{x^2}{2} + \pi x \right]_{0}^{\pi} = \left(2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi^2}{2} + \pi \cdot \pi\right) - \left(2\sin(0) - \frac{0^2}{2} + \pi \cdot 0\right) = \left(2 \cdot 1 - \frac{\pi^2}{2} + \pi^2\right) - (0) = 2 + \frac{\pi^2}{2}$.

Ответ: $2 + \frac{\pi^2}{2}$.

21.52. a) $y = 2 \cos 3x - 3 \sin 2x + 6, y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{6}$;

б) $y = 2 \sin 4x + 3 \cos 2x + 7, y = 0, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}$.

а)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2\cos 3x - 3\sin 2x + 6$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{6}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь $S$ фигуры, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу осью абсцисс ($y=0$), и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.В данном случае $f(x) = 2\cos 3x - 3\sin 2x + 6$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{6}$.

Убедимся, что функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[0, \frac{\pi}{6}]$. Так как $-1 \le \cos 3x \le 1$ и $-1 \le \sin 2x \le 1$, то минимальное значение функции можно оценить: $y_{min} \ge 2(-1) - 3(1) + 6 = 1$.Поскольку $f(x) \ge 1 > 0$ на всем отрезке интегрирования, фигура полностью расположена над осью абсцисс, и ее площадь равна интегралу:$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (2\cos 3x - 3\sin 2x + 6) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции:$\int (2\cos 3x - 3\sin 2x + 6) dx = 2 \int \cos 3x dx - 3 \int \sin 2x dx + \int 6 dx$$= 2 \cdot \frac{1}{3}\sin 3x - 3 \cdot (-\frac{1}{2}\cos 2x) + 6x + C = \frac{2}{3}\sin 3x + \frac{3}{2}\cos 2x + 6x + C$.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:$S = \left[ \frac{2}{3}\sin 3x + \frac{3}{2}\cos 2x + 6x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$$= \left( \frac{2}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) + \frac{3}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) + 6 \cdot \frac{\pi}{6} \right) - \left( \frac{2}{3}\sin(0) + \frac{3}{2}\cos(0) + 6 \cdot 0 \right)$$= \left( \frac{2}{3}\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{3}{2}\cos(\frac{\pi}{3}) + \pi \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 1 + 0 \right)$$= \left( \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \pi \right) - \frac{3}{2}$$= \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \pi \right) - \frac{3}{2} = \left( \frac{8}{12} + \frac{9}{12} + \pi \right) - \frac{18}{12} = \frac{17}{12} + \pi - \frac{18}{12} = \pi - \frac{1}{12}$.

Ответ: $S = \pi - \frac{1}{12}$.

б)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2\sin 4x + 3\cos 2x + 7$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$, необходимо вычислить определенный интеграл от функции $f(x) = 2\sin 4x + 3\cos 2x + 7$ в пределах от $a = \frac{\pi}{4}$ до $b = \frac{5\pi}{4}$.$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (2\sin 4x + 3\cos 2x + 7) dx$.

Проверим знак функции на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$. Так как $-1 \le \sin 4x \le 1$ и $-1 \le \cos 2x \le 1$, то минимальное значение функции можно оценить: $y_{min} \ge 2(-1) + 3(-1) + 7 = 2$.Поскольку $f(x) \ge 2 > 0$, фигура полностью расположена над осью абсцисс.

Найдем первообразную для подынтегральной функции:$\int (2\sin 4x + 3\cos 2x + 7) dx = 2 \int \sin 4x dx + 3 \int \cos 2x dx + \int 7 dx$$= 2 \cdot (-\frac{1}{4}\cos 4x) + 3 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + 7x + C = -\frac{1}{2}\cos 4x + \frac{3}{2}\sin 2x + 7x + C$.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:$S = \left[ -\frac{1}{2}\cos 4x + \frac{3}{2}\sin 2x + 7x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$$= \left( -\frac{1}{2}\cos(4 \cdot \frac{5\pi}{4}) + \frac{3}{2}\sin(2 \cdot \frac{5\pi}{4}) + 7 \cdot \frac{5\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) + \frac{3}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 7 \cdot \frac{\pi}{4} \right)$$= \left( -\frac{1}{2}\cos(5\pi) + \frac{3}{2}\sin(\frac{5\pi}{2}) + \frac{35\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(\pi) + \frac{3}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) + \frac{7\pi}{4} \right)$$= \left( -\frac{1}{2}(-1) + \frac{3}{2}(1) + \frac{35\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2}(-1) + \frac{3}{2}(1) + \frac{7\pi}{4} \right)$$= \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{35\pi}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{7\pi}{4} \right)$$= \left( 2 + \frac{35\pi}{4} \right) - \left( 2 + \frac{7\pi}{4} \right) = 2 + \frac{35\pi}{4} - 2 - \frac{7\pi}{4} = \frac{35\pi - 7\pi}{4} = \frac{28\pi}{4} = 7\pi$.

Ответ: $S = 7\pi$.

21.53. a) $y = 0$, $x = 4$, $y = \sqrt{x}$;

б) $y = 1$, $x = 0$, $y = \sqrt[3]{x}$;

в) $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$, $y = \frac{1}{x^2}$;

г) $y = 2$, $x = 0$, $y = \sqrt{x}$.

а)

Фигура ограничена линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 4$ и $y = \sqrt{x}$.
Площадь данной фигуры, которая является криволинейной трапецией, можно вычислить с помощью определённого интеграла. Верхней границей фигуры является функция $y = \sqrt{x}$, а нижней — прямая $y = 0$. Пределы интегрирования по оси $x$ определяются из условия: левая граница — точка пересечения кривой $y = \sqrt{x}$ с осью $y=0$, то есть $x=0$, а правая граница задана условием $x = 4$.
Формула для вычисления площади: $S = \int_a^b (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) \,dx$.
В нашем случае $f_{верх}(x) = \sqrt{x}$, $f_{ниж}(x) = 0$, $a = 0$, $b = 4$.
$S = \int_0^4 (\sqrt{x} - 0) \,dx = \int_0^4 x^{1/2} \,dx$.
Найдём первообразную для $x^{1/2}$: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.
Теперь вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $S = F(b) - F(a)$.
$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^4 = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Ответ: $\frac{16}{3}$.

б)

Фигура ограничена линиями $y = 1$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt[3]{x}$.
Сначала найдём точку пересечения кривой $y = \sqrt[3]{x}$ и прямой $y=1$, чтобы определить пределы интегрирования. $1 = \sqrt[3]{x} \Rightarrow x = 1^3 = 1$.
Фигура ограничена сверху прямой $y = 1$, снизу — кривой $y = \sqrt[3]{x}$. Пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $1$.
$S = \int_a^b (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) \,dx = \int_0^1 (1 - \sqrt[3]{x}) \,dx = \int_0^1 (1 - x^{1/3}) \,dx$.
Найдём первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = x - \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = x - \frac{x^{4/3}}{4/3} = x - \frac{3}{4}x^{4/3}$.
Вычислим определённый интеграл:
$S = \left[ x - \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_0^1 = (1 - \frac{3}{4}(1^{4/3})) - (0 - \frac{3}{4}(0^{4/3})) = 1 - \frac{3}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в)

Фигура ограничена линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 1$, $x = 3$ и $y = \frac{1}{x^2}$.
Верхней границей фигуры является функция $y = \frac{1}{x^2}$, а нижней — $y = 0$. Пределы интегрирования по оси $x$ заданы явно: от $1$ до $3$.
$S = \int_1^3 (\frac{1}{x^2} - 0) \,dx = \int_1^3 x^{-2} \,dx$.
Найдём первообразную для $x^{-2}$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Вычислим определённый интеграл:
$S = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^3 = (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

г)

Фигура ограничена линиями $y = 2$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt{x}$.
Найдём точку пересечения кривой $y = \sqrt{x}$ и прямой $y=2$: $2 = \sqrt{x} \Rightarrow x = 2^2 = 4$.
Фигура ограничена сверху прямой $y = 2$, снизу — кривой $y = \sqrt{x}$. Пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $4$.
$S = \int_0^4 (2 - \sqrt{x}) \,dx = \int_0^4 (2 - x^{1/2}) \,dx$.
Найдём первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = 2x - \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 2x - \frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x - \frac{2}{3}x^{3/2}$.
Вычислим определённый интеграл:
$S = \left[ 2x - \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^4 = (2 \cdot 4 - \frac{2}{3}(4^{3/2})) - (2 \cdot 0 - \frac{2}{3}(0^{3/2})) = (8 - \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3) - 0 = 8 - \frac{2}{3}(2^3) = 8 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24-16}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.