Номер 21.58, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.58, страница 143.

21.58. a) $y = 0$, $x = 1$, $x = e$, $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = 0$, $x = 3$, $x = -1$, $y = \frac{1}{2x + 3}$;

в) $y = 0$, $x = e$, $x = e^2$, $y = \frac{2}{x}$;

г) $y = 0$, $x = 2$, $x = 5$, $y = \frac{1}{3x - 5}$.

Данная задача заключается в нахождении площади фигуры, ограниченной заданными линиями. Такая площадь, если фигура ограничена графиком неотрицательной функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

а)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$. Здесь $f(x) = \frac{1}{x}$, $a=1$, $b=e$. Функция $f(x)$ на отрезке $[1, e]$ положительна.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является функция $F(x) = \ln|x|$. Поскольку на отрезке $[1, e]$ значение $x$ положительно, $|x| = x$.

Вычисляем интеграл:

$S = [\ln(x)]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$

Ответ: $1$

б)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{2x+3}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 3$. Здесь $f(x) = \frac{1}{2x+3}$, $a=-1$, $b=3$. На отрезке $[-1, 3]$ знаменатель $2x+3$ принимает значения от $2(-1)+3=1$ до $2(3)+3=9$, поэтому функция $f(x)$ положительна.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{-1}^{3} \frac{1}{2x+3} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{kx+m}$ является функция $F(x) = \frac{1}{k}\ln|kx+m|$. В данном случае $k=2, m=3$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[\frac{1}{2}\ln|2x+3|\right]_{-1}^{3} = \frac{1}{2}\ln(2 \cdot 3 + 3) - \frac{1}{2}\ln(2 \cdot (-1) + 3) = \frac{1}{2}\ln(9) - \frac{1}{2}\ln(1)$

Так как $\ln(1)=0$ и $\ln(9)=\ln(3^2)=2\ln(3)$, получаем:

$S = \frac{1}{2}\ln(9) = \frac{1}{2} \cdot 2\ln(3) = \ln(3)$

Ответ: $\ln(3)$

в)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{2}{x}$, $y = 0$, $x = e$, $x = e^2$. Здесь $f(x) = \frac{2}{x}$, $a=e$, $b=e^2$. Функция $f(x)$ на отрезке $[e, e^2]$ положительна.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{e}^{e^2} \frac{2}{x} \,dx = 2 \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln(x)$ (так как $x>0$).

Вычисляем интеграл:

$S = 2[\ln(x)]_{e}^{e^2} = 2(\ln(e^2) - \ln(e))$

Используя свойства логарифмов, $\ln(e^2) = 2\ln(e) = 2$ и $\ln(e) = 1$:

$S = 2(2 - 1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

г)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{3x-5}$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 5$. Здесь $f(x) = \frac{1}{3x-5}$, $a=2$, $b=5$. На отрезке $[2, 5]$ знаменатель $3x-5$ принимает значения от $3(2)-5=1$ до $3(5)-5=10$, поэтому функция $f(x)$ положительна.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{2}^{5} \frac{1}{3x-5} \,dx$

Первообразной для $f(x) = \frac{1}{3x-5}$ является $F(x) = \frac{1}{3}\ln|3x-5|$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[\frac{1}{3}\ln|3x-5|\right]_{2}^{5} = \frac{1}{3}\ln(3 \cdot 5 - 5) - \frac{1}{3}\ln(3 \cdot 2 - 5) = \frac{1}{3}\ln(10) - \frac{1}{3}\ln(1)$

Так как $\ln(1)=0$, получаем:

$S = \frac{1}{3}\ln(10)$

Ответ: $\frac{1}{3}\ln(10)$